PARABOLA DAN GARIS

Soal 1 (SPMB 2006)
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) dan menyinggung garis y = 2x + 1 adalah .....
A. 4y - 2x² + 2x = 0
B. 2y + x² - 3x = 0
C. 4y + x² - 4x = 0
D. 2y - 2x² + 3x = 0
E. 2y - x² + 2x = 0
Pembahasan:
Persamaan parabola yang titik puncaknya (2,1) : y₁  = a(x - 2)² + 1
Persamaan garis : y₂ = 2x + 1

Karena saling bersinggungan, maka y₁ = y₂.
a(x - 2)² + 1 = 2x + 1
a(x² - 4x + 4) + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax + 4a + 1 = 2x + 1
ax² - 4ax -2x + 4a =  1 - 1
ax² - (4a + 2)x + 4a = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(4a + 2)² - 4(a)(4a) = 0
16a² + 16a + 4 - 16a² = 0
16a + 4 = 0
16a = -4
a = -4/16
a = -1/4

Dengan demikian, persamaan parabolanya:
y₁ = -¼ (x - 2)² + 1
y₁ = -¼ (x - 2)² + (4/4)
4y = -(x² - 4x + 4) + 4
4y = -x² + 4x - 4 + 4
4y = -x² + 4x +  0
4y + x² - 4x = 0
(Jawaban: C)

Soal 2 (SPMB 2006)
Garis y = x + 8 memotong parabola y = ax² - 5x - 12 di titik P(-2,6) dan titik Q. Koordinat titik Q adalah .....
A. (5,13)
B. (4,12)
C. (3,11)
D. (2,10)
E. (2,9)
Pembahasan:
Parabola y = ax² - 5x - 12
Karena melalui P(-2,6), maka:
6 = a(-2)² - 5(-2) - 12
⟺ 6 = 4a + 10 - 12
⟺ 6 = 4a - 2
⟺ 4a = 6 + 2
⟺ 4a = 8
⟺ a = 8/4
⟺ a = 2

Kedua kurva berpotogan, maka y₁ = y₂
2x² - 5x - 12 = x + 8
2x² - 5x - 12 - x - 8 = 0
2x² - 6x - 20 = 0
x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5 atau x = -2

Untuk x = 5, maka:
y = x + 8
   = 5 + 8
   = 13
Jadi, koordinat titik Q adalah (5,13)
(Jawaban: A)

Soal 3 (SPMB 2005)
Jika garis y = 7x - 3 menyinggung parabola y = 4x² + ax + b di titik (1,4), a dan b konstanta maka (a - b) = .....
A. -2
B. -1
C.  0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
y = 4x² + ax + b
Karena melalui  (1,4), maka:
4 = 4(1)² + a(1) + b
4 = 4 + a + b
a + b = 4 - 4
a + b = 0
a = -b

Kedua kurva bersinggungan, maka y₁ = y₂
4x² + ax + b = 7x - 3
4x² + ax + b - 7x + 3 = 0
4x² + (a - 7)x + (b + 3) = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac  = 0
(a - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
Karena a = -b, maka:
(-b - 7)² - 4(4)(b + 3) = 0
⟺ b² + 14b + 49 - 16b - 48 = 0
⟺ b² - 2b + 1 = 0
⟺ (b - 1)² = 0
⟺ b - 1 = 0
⟺ b = 1
Karena  a = -b maka a = -1

a - b = -1 - 1
        = -2
Jadi (a - b) = -2
(Jawaban: A)

Soal 4 (SPMB 2005)
Parabola y = x² memotong garis y = x + 2 di titik A dan B. Panjang ruas garis AB adalah.....
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. 3√2
E. 4
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1

Untuk x = 2, y = 2² = 4 ⟹ titik A(2,4)
Untuk x = -1, y = (-1)² = 1 ⟹ titik B(-1,1)

Jarak AB = (xA−xB)2+(yA−yB)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
                = (2−(−1))2+(4−1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
                = 9+9−−−−√
                = 18−−√
                = 3√2
(Jawaban: D)

Soal 5 (SPMB 2004)
Titik potong parabola y = mx² + x + m,  m ≠ 0 dengan garis y = (m + 1)x + 1 adalah (x₁ , y₁) dan (x₂,y₂). Jika x₁² + x₂² = 1 maka nilai m adalah .....
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
mx² + x + m = (m + 1)x + 1
mx² + x + m = mx + x + 1
mx² - mx  + (m - 1) = 0
(x₁ + x₂) = -b/a = -m/m = 1
(x₁ . x₂) = c/a = (m - 1)/m

x₁² + x₂² = 1
⟺ (x₁ + x₂)² - 2(x₁.x₂) = 1
⟺ (1)² - 2[m−1m] = 1
⟺ m−2m+2m = 1
⟺ -m + 2 = 1 x m
⟺ -m + 2 = m
⟺ -m - m = -2
⟺ -2m = -2
⟺ m = -2/-2
⟺ m = 1
(Jawaban: D)

Soal 6 (SPMB 2004)
Agar parabola y = x² - px + 3 dipotong garis y = 2x - 1 di dua titik maka
A. p < -6 atau p > 2
B. p < -4 atau p > 4
C. p < -2 atau p > 6
D. -6 < p < 2
E.  -4 < p < 2
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² - px + 3 = 2x - 1
x² - px + 3 - 2x + 1 = 0
x² - (p + 2)x + 4 = 0

Syarat memotong di dua titik, D > 0
b² - 4ac  > 0
(p + 2)² - 4(1)(4) > 0
p² + 4p + 4 - 16 > 0
p² + 4p - 12 > 0
(p + 6)(p - 2) > 0
Nilai p yang memenuhi: p < -6 atau p > 2
(Jawaban: A)

Soal 7 (UM - UGM 2003)
Parabola y = x² + ax + 6 dan garis y = 2mx + c berpotongan di titik A dan B. Titik C membagi ruas garis AB menjadi dua sama panjang maka ordinat titik C adalah .....
A. 4m² + 2ma + c
B. 4m² - 2ma + c
C. 2m² + ma + c
D. 2m² - ma + c
E. 2m² - 2ma + c
Pembahasan:
Kedua kurva berpotongan ketika y₁ = y₂
x² + ax + 6 = 2mx + c
x² + ax + 6 - 2mx - c = 0
x² + (a - 2m)x + (6 - c) = 0

Absis  C(titik tengah A dan B) adalah:
xc = xA+xB2
     = -b2a
     = 2m−a2

Subtitusi nilai xc ke persamaan garis y = 2mx + c
yc = 2m[2m−a2] + c
     = 2m² - ma + c
(jawaban: D)

Soal 8 (UMPTN 2001)
Syarat agar grafik fungsi linear f(x) = mx - 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat g(x) = 4x² + x - 1 adalah .....
A. m = 5
B. m = 3
C. m = 3 atau m = 5
D. m = -3 atau m = 5
E. m = -3 atau m = -5
Jawaban:
Kedua kurva bersinggungan ketika y₁ = y₂
4x² + x - 1 =  mx - 2
4x² + x - 1 - mx + 2 = 0
4x² + (1 - m)x + 1 = 0

Syarat menyinggung,  D = 0
b² - 4ac  = 0
(1 - m)² - 4(4)(1) = 0
1  - 2m + m² - 16 = 0
m² - 2m - 15 = 0
(m - 5)(m + 3) = 0
m = 5 atau m = -3
(Jawaban: D)