KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR

faktor primanya.

Tentukan FPB dan KPK dari 15 a² b³   dan 20 a b³ c²

• ·        Langkah pertama kita mencari FPB dan KPK dari 15 dan 20

15  =  3 x 5          (dicari dengan pohon faktor)

20  = 2² x 5

FPB = 5

KPK = 2² x 3 x 5 = 60

• ·        Langkah berikutnya kita mencari FPB dan KPK dari a² b³   dan a b³ c²

Kita kelompokkan suku yang sejenis

a²  dengan  a             b³ dengan b³        c²   (tidak ada variabel lain)

Karena FPB mengambil pangkat terkecil pada variabel yang sama maka :

FPB dari a² b³   dan a b³ c²  adalah  a b³

Karena KPK mengambil semua variabel yang ada dengan pangkat terbesar pada variabelnya maka :

KPK dari a² b³   dan a b³ c²  adalah  a² b³ c²

• ·        Finally,

FPB dari 15 a² b³   dan 20 a b³ c²  adalah  5ab³

KPK dari 15 a² b³   dan 20 a b³ c² adalah 60a²b³c²

Contoh:

a. KPK dan FPB dari 3p dan 7p

3p = 3 × p

7p = 7 × p

KPK = 3 × 7 × p = 21p

FPB = p

b. KPK dan FPB dari 4ab²c dan 5abc²

4ab²c = 22 × a × b² × c

5abc² = 5 × a × b × c²

KPK = 22 × 5 × a × b² × c² = 20ab²c².

FPB = abc

Contoh:

Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut ini.

a. 12pq dan 8pq2

b. 45x5y2 dan 50x4y3

Penyelesaian:

a. Bentuk perkalian faktor prima dari 12pq dan 8pq2 adalah sebagai berikut.

12pq = 22 × 3 × p × q

8pq2 = 23 × p × q2

Maka KPK dan FPB kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

KPK = 23 × 3 × p × q2 = 24pq2

FPB = 22 × p × q = 4pq

b. Bentuk perkalian faktor prima dari 45x5y2 dan 50x4y3 adalah sebagai berikut.

45x5y2 = 32 × 5 × x5 × y2

50x4y3 = 2 × 52 × x4 × y3

Maka KPK dan FPB kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

KPK = 2 × 32 × 52 × x5 × y3 = 450x5y3

FPB = 5 × x4 × y2 = 5x4y2

Sekarang untuk mengasah kemampuan kalian dalam memahami bagaimana caranya menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar, silahkan kalian simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan KPK dari bentuk aljabar berikut ini.

a. 15ab dan 20ab

b. 10a2b3c dan 15b2c2d

c. 24p2q, 36p3q2, dan 60pqr

d. 16pq2r, 30qr2s2, dan 36p3r2s5

Penyelesaian:

a. Bentuk perkalian faktor prima dari 15ab dan 20ab adalah sebagai berikut.

15ab = 3 × 5 × a × b

20ab = 22 × 5 × a × b

KPK kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

KPK = 22 × 3 × 5 × a × b = 60ab

b. Bentuk perkalian faktor prima dari 10a2b3c dan 15b2c2d adalah sebagai berikut.

10a2b3c = 2 × 5 × a2 × b3 × c

15b2c2d = 3 × 5 × b2 × c2 × d

KPK kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

KPK = 2 × 3 × 5 × a2 × b3 × c2 × d = 30a2b3c2d

c. Bentuk perkalian faktor prima dari 24p2q, 36p3q2, dan 60pqr adalah sebagai berikut.

24p2q = 23 × 3 × p2 × q

36p3q2 = 22 × 32 × p3 × q2

60pqr = 22 × 3 × 5 × p × q × r

KPK kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

KPK = 23 × 32 × 5 × p3 × q2 × r = 360p3q2r

d. Bentuk perkalian faktor prima dari 16pq2r, 30qr2s2, dan 36p3r2s5 adalah sebagai berikut.

16pq2r = 24 × p × q2 × r

30qr2s2 = 2 × 3 × 5 × q × r2 × s2

36p3r2s5 = 22 × 32 × p3 × r2 × s5

KPK kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

KPK = 24 × 32 × 5 × p3 × q2 × r2 × s5 = 720p3q2r2s5

2. Tentukan FPB dari bentuk aljabar berikut.

a. 2x dan –3x2

b. 4x2y dan 12xy2

c. 48a3b5 dan 52a2b3c2

d. 12pq, 6q2r, dan 15p2qr

Penyelesaian:

a. Bentuk perkalian faktor prima dari 2x dan –3x2 adalah sebagai berikut.

2x = 2 × x

–3x2 = -3 × x2

FPB kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

FPB = x

b. Bentuk perkalian faktor prima dari 4x2y dan 12xy2 adalah sebagai berikut.

4x2y = 22 × x2 × y

12xy2 = 22 × 3 × x × y2

FPB kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

FPB = 22 × x × y = 4xy

c. Bentuk perkalian faktor prima dari 48a3b5 dan 52a2b3c2 adalah sebagai berikut.

48a3b5 = 24 × 3 × a3 × b5

52a2b3c2 = 22 × 13 × a2 × b3 × c2

FPB kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

FPB = 22 × a2 × b3 = 4 a2b3

d. Bentuk perkalian faktor prima dari 12pq, 6q2r, dan 15p2qr adalah sebagai berikut.

12pq = 22 × 3 × p × q

6q2r = 2 × 3 × q2 × r

15p2qr = 3 × 5 × p2 × q × r

FPB kedua bentuk aljabar tersebut adalah sebagai berikut.

FPB = 3 × q = 3q

Soal 1

Harga 3 buah buku dan 5 pensil adalah Rp. 42.000,00. Jika harga sebuah buku adalah 3 kali harga sebuah pensil.

Tentukanlah harga masing-masing pensil dan buku !

penyelesaian :

misalkan,

Harga 1 pensil   = x rupiah

Harga 5 pensil   = 5x rupiah

sehingga,

Harga 1 buku   = 3 kali harga 1 pensil

Harga 1 buku   = 3x rupiah.

jadi,

Harga 5 buah pensil   = 5x rupiah

Harga 3 buah buku     = 9x rupiah

Harga 3 buku dan 5 pensil adalah Rp. 42.000,00. Maka model matematikanya adalah :

5x + 9x   = Rp 42.000

14x          = Rp 42.000

x               =  Rp 3.000

maka,

• Harga sebuah pensil adalah Rp 3.000,00

• Harga sebuah buku adalah 3 x Rp 3.000,00 adalah Rp.9.000,00

Soal 2

Harga 8 kg jeruk dan 6 kg apel adalah Rp. 34.000,00. Harga 1 kg apel adalah 1½ kali harga 1 kg jeruk.

Tentukanlah harga masing-masing per kilogramnya !

penyelesaian:

misalkan,

Harga 1 kg Jeruk   = x rupiah

Harga 8 kg Jeruk   = 8x rupiah

sehingga,

Harga 1 kg Apel     = 1½ kali x rupiah

Harga 6 kg Apel     = 9x rupiah

Harga 8 kg jeruk dan 6 kg apel adalah Rp. 34.000,00. Maka model matematikanya adalah:

8x + 9x   = 34.000

17x          = 34.000

x               = 2.000

maka,

• Harga 1 kg Jeruk adalah Rp. 2.000,00

• Harga 1 kg Apel adalah Rp. 3.000,00.

Soal 3

Sekarang umur seorang adik 5 tahun kurangnya dari umur kakak. Lima tahun kemudian jumlah umur kakak dan adik menjadi 35 tahun.

Tentukanlah masing-masing umurnya !

penyelesaian:

misalkan,

Umur kakak sekarang   = x tahun

sehingga,

Umur adik   = (x – 5) tahun

lalu,

5 tahun kemudian umur kakak   = x + 5

Umur adik adalah (x – 5) + 5        = x tahun

Jumlah umur mereka 5 tahun lagi adalah 35 tahun, maka model matematikanya adalah:

x + 5 + x     = 35

2x + 5          = 35

2x                 = 30

x                   = 15

maka,

• Umur kakak sekarang adalah 15 tahun

• Adik adalah 15 – 5 = 10 tahun.

Soal 4

Sebuah bilangan, jika ditambah 102 kemudian dibagi 3, maka hasilnya menjadi 6 kali bilangan itu.

Tentukanlah bilangan itu !

penyelesaian:

misalkan,

Sebuah bilangan   = x

sehingga,

( x + 102 ) : 3         = 6 kali x

Bilangan (x) ditambah dengan 102 lalu dibagi 3 memiliki hasil 6 kali dari bilangan (x). Maka model matematikanya adalah :

( x + 102 ) : 3   = 6x

( x + 102 )         = 18x

102                     = 17x

x                          = 6

maka,

• Bilangan tersebut adalah 6.

Soal 5

Jumlah dua bilangan asli yang berurutan adalah 25.

Tentukanlah bilangan-bilangan itu !

penyelesaian:

misalkan,

Bilangan asli yg ke-1   = x

sehingga,

Bilangan asli yg ke-2   = ( x + 1 )

Lalu apabila kedua bilangan asli tersebut dijumlahkan akan menghasilkan bilangan 25. Maka model matematikanya adalah :

x + ( x + 1 )   = 25

2x + 1             = 25

2x                    = 24

x                      = 12

maka,

• Bilangan asli ke-1 adalah ( x ) = 12

• Bilangan asli ke-2 adalah ( 12 + 1 ) = 13

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar

Konsep penjumlahan dan pengurangan yang telah kalian pelajari pada bilangan pecahan juga dapat digunakan untuk operasi hitung bentuk pecahan aljabar. Bentuk pecahan aljabar yang akan kalian pelajari hanya bentuk pecahan yang berpenyebut suku tunggal.

Contoh Soal:

2. Perkalian Pecahan Bentuk Aljabar

Pada perkalian dua pecahan aljabar dilakukan dengan cara, pembilang dikalikan pembilang dan penyebut dikalikan penyebut.

Contoh Soal:

3. Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar

Membagi suatu bilangan atau pecahan dengan suatu pecahan sama dengan mengalikannya dengan kebalikan pecahan tersebut. Misalnya 3/5akebalikannya 5a/3.

Contoh Soal:

4. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Hasil pangkat dari suatu pecahan diperoleh dengan cara, memangkatkan pembilang dan penyebutnya, atau dapat ditulis sebagai berikut.

(a/b)n = (an/bn) dengan n bilangan bulat dan a, b bilangan real.

Contoh Soal:

Contoh 1

Tentukan KPK dari bentuk 20ab³c⁵ dan 25 a²bc³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

20ab³c⁵   = 2² × 5 × a × b³ × c⁵

25 a²bc³  =      5² × a² × b × c³

KPK       = 2² × 5² × a² × b³ × c⁵      (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 4 × 25 × a² × b³ × c⁵

    = 100 a²b³c⁵

Jadi, KPK dari 20ab³c⁵ dan 25 a²bc³ adalah 100 a²b³c⁵.

Contoh 2

Tentukan KPK dari bentuk 12p³q²r dan 40 pq⁴r³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

12p³q²r  = 2² × 3 × p³ × q² × r

40 pq⁴r³ = 2³ × 5 × p  × q⁴ × r³

KPK       = 2³ × 3 × 5 × p³ × q⁴ × r³      (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × 5 × p³ × q⁴ × r³ 

             = 120 p³q⁴r³

Jadi, KPK dari 12p³q²r dan 40 pq⁴r³ adalah 120 p³q⁴r³. 

Contoh 3

Tentukan KPK dari bentuk 10a²b³c, 15 ab⁵c² dan 24a²b³c⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

10a²b³c   = 2 × 5 × a² × b³ × c

15 ab⁵c²  = 3 × 5 × a × b⁵ × c²

24a²b³c⁴  = 2³ × 3 × a² × b³ × c⁴

KPK       = 2³ × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴     (Dipilih bilangan/variabel  berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴ 

             = 120 a²b⁵c⁴

Jadi, KPK dari 10a²b³c, 15 ab⁵c² dan 24a²b³c⁴  adalah 120 a²b⁵c⁴.

Contoh 4

Tentukan FPB dari bentuk 48a²b³c⁵ dan 60a²b⁵c⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

48a²b³c⁵   = 2⁴ × 3 × a² × b³ × c⁵

60a²b⁵c⁴  =  2² × 3 × 5 × a² × b⁵ × c⁴

FPB       = 2² × 3 × a² × b³ × c⁴      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat rendah)

             = 12 × a² × b³ × c⁴

             = 12 a²b³c⁴

Jadi, FPB dari bentuk 48a²b³c⁵ dan 60a²b⁵c⁴   adalah 12 a²b³c⁴.

Contoh 5

Tentukan FPB dari bentuk 120pq³r⁴ dan 108p²q⁶r³.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

120pq³r⁴   = 2³ × 3 × 5 × p × q³ × r⁴

108p²q⁶r³  = 2³ × 3²   × p² × q⁶ × r³

FPB       = 2³ × 3 × p × q³ × r³      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat tinggi)

             = 8 × 3 × p × q³ × r³

             = 24pq³r³

Jadi, FPB dari bentuk 120pq³r⁴ dan 108p²q⁶r³  adalah 24pq³r³.

Contoh 6

Tentukan FPB dari bentuk 90x³y⁴z² , 75x²y²z⁶ , dan 135x⁸yz⁴.

Jawaban:

Memfaktorkan bentuk aljabar.

90x³y⁴z²   = 2 × 3² × 5 × x³ × y⁴ × z²

75x²y²z⁶   = 3 × 5²      × x² × y² × z⁶

135x⁸yz⁴  = 3³ × 5       × x⁸ × y × z⁴

FPB       = 3 × 5 × x² × y × z²      (Pilih bilangan/variabel sama dan berpangkat rendah)

             = 15 × x² × y × z²

             = 15 x²yz²

Jadi, FPB dari bentuk 90x³y⁴z² , 75x²y²z⁶ , dan 135x⁸yz⁴  adalah 15 x²yz².

1. Faktorkan bentuk-bentuk berikut :

• a. 25x + 20y
• b. 2mn − 8m
• c. 15xy2 + 10x2y
• d. 6ab2c3 − 18 a3c2
• e. x2 + 9x + 18

2. Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut ini :

• a. 12pq dan 8pq2
• b. 45x5y2 dan 50x4y3
• c. 24p2q, 36p3q2, dan 60pqr

Jawaban

1. Berikut jawabannya :

• a. 25x + 20y = 5(5x + 4y)
• b. 2mn − 8m = 2m(n – 4)
• c. 15xy2 + 10x2y = 5xy(3y + 2x)
• d. 6ab2c3 − 18 a3c2 = 6ac2(b2c – 3a2)
• e. x2 + 9x + 18 = x2 – 3x – 6x + 18 = x(x-3) – 6(x – 3) = (x – 6)(x – 3)

———————————–

2. Berikut jawabannya :

A. 12pq dan 8pq2

• 12pq = 22.3.p.q
• 8pq2 = 23.p.q2

• KPK = 23.3.p.q2 = 24pq2
• FPB = 22.p.q = 4pq

Jadi KPK adalah 24pq2 dan FPB adalah 4pq

B. 45x5y2 dan 50x4y3

• 45x5y2 = 32.5.x5.y2
• 50x4y3 = 2.52.x4.y3

KPK :

• = 2.32.52.x5.y3
• = 2.9.25.x5.y3
• = 450x5y3

FPB :

• = 5.x4.y2
• = 5x4y2

Jadi KPK adalah 450x5y3, dan FPB adalah 5x4y2

C. 24p2q, 36p3q2, dan 60pqr

• 24p2q = (23.3)(p2q)
• 36p3q2 = (22.32)(p3q2)
• 60pqr = (22.3.5)(pqr)

KPK :

• = (23.32.5)(p3q2r)
• = (8.9.5)(p3q2r)
• = 360p3q2r

FPB :

• = (22.3)(pq)
• = (4.3)(pq)
• = 12pq

Jadi KPK adalah 360p3q2r, dan FPB adalah 12 pq