SOAL PANJANG TALI BUSUR LINGKARAN

Contoh Soal 1

Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:

Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

CD/AB = ∠COD / ∠AOB

CD /14 cm = 140°/35°

CD = (140°/35°) x 14 cm

CD = 4 x 14 cm

CD = 56 cm

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2

Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.

Hitunglah

a. luas juring POQ;

b. jari-jari lingkaran;

c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:

a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini

Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ

50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°

50 cm2/ Luas POQ = 1,25

Luas POQ = 50 cm2/1,25

Luas POQ = 40 cm2

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ

πr2 /luas juring POQ = 360°/∠POQ

πr2/40 cm2 = 360°/60°

πr2/40 cm2 = 6

πr2 = 40 cm2 x 6

πr2 = 240 cm2

r2 = 240 cm2/(22/7)

r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB

luas lingkaran/50 cm2 = 360°/75°

luas lingkaran/50 cm2 = 4,8

luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2

luas lingkaran = 240 cm2

atau dengan menggunakan rumus πr2, maka:

πr2 = (22/7) x (8,74 cm)

πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2

πr2 = 240 cm2

Contoh Soal 3

Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30°;

b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:

a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°

panjang AB/125,6 cm = 1/12

panjang AB = 125,6 cm/12

panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:

luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

luas POQ /πr2= 45°/360°

luas POQ = (45°/360°) x πr2

luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2

luas POQ = 157 cm2

Contoh Soal 4

Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring POQ.

Penyelesaian:

keliling lingkaran tersebut adalah

K = 2πr

K = 2 x (22/7) x 28 cm

K = 176 cm

Luas lingkaran tersebut adalah

L = πr2

L = (22/7) x (28 cm)2

L = 2464 cm2

Sekarang cari sudut POQ

∠ POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran

∠ POQ /360° = 17,6cm/176 cm

∠ POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°

∠ POQ = 36°

luas juring POQ/Luas Lingkaran = ∠ POQ/∠ 1 lingkaran

luas juring POQ/2464 cm2 = 36°/360°

luas juring POQ = 0,1 x 2464 cm2

luas juring POQ = 246,4 cm2

Contoh Soal 5

Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.

Penyelesaian:

a. Pada gambar (a) diketahui ∠AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, maka

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°

panjang AB/69,08 cm = 0,125

panjang AB = 69,08 cm x 0,125

panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO

keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm

keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka

luas juring AOB /Luas Lingkaran = ∠ AOB /∠ 1 lingkaran

luas juring AOB /πr2 = 45°/360°

luas juring AOB = 0,125 x πr2

luas juring AOB = 0,125 x 3,14 x (11 cm)2

luas juring AOB = 47,49 cm2

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)

luas juring COD /Luas Lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring COD/πr2 = 45°/360°

luas juring COD = 0,125 x πr2

luas juring COD = 0,125 x 3,14 x (6 cm)2

luas juring COD = 14,13 cm2

Luas ABCD = luas juring AOB = 47,49 cm2 - luas juring COD = 14,13 cm2

Luas ABCD = 47,49 cm2 - 14,13 cm2

Luas ABCD = 33,36 cm2

Contoh Soal 6

Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.

penyelesaian:

a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih dahulu cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:

luas juring AOB = ¼ luas lingkaran

luas juring AOB = ¼ x πr2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm )2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2

luas juring AOB = 154 cm2

luas ΔAOB = ½ x alas x tinggi

luas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cm

luas ΔAOB = 98 cm2

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB

Luas tembereng = 154 cm2 – 98 cm2

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih dahulu cari luas juring COD dan luas ΔCOD:

luas juring COD/luas lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring COD/ πr2 = 60° /360°

luas juring COD = (60°/360°) x πr2

luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm )2

luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2

luas juring AOB = 102,67 cm2

Karena besar ∠ COD = 60o, maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,

s = ½ x keliling segitiga

s = ½ x (a + b + c)

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

s = 21 cm

luas ΔCOD = √(s(s-a)(s-a)(s-a)

luas ΔCOD = √(21 (21-14)(21-14)(21-14)

luas ΔCOD = √(21 x 7 x 7 x 7)

luas ΔCOD = √(21 x 343)

luas ΔCOD = √(7203)

luas ΔCOD = 84,87 cm2

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga COD

Luas tembereng = 102,67 cm2– 84,87 cm2

Luas tembereng = 17,80 cm2

Contoh Soal 7

Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar ∠ POQ = 45°. Hitunglah besar ∠ QOR.

Penyelesaian:

∠ QOR /∠ POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ

∠ QOR/45°= 75 cm/50 cm

∠ QOR/45°= 1,5

∠ QOR = 1,5 x 45°

∠ QOR = 67,5°

Contoh Soal 8

Pada gambar di bawah, besar ∠ POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.

Hitunglah

a. panjang busur besar PQ;

b. luas juring besar POQ.

Penyelesaian:

panjang PQ/keliling lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

panjang PQ /2πr = ∠POQ /360°

panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°

panjang PQ /125,6 cm = 0,2

panjang PQ = 125,6 cm x 0,2

panjang PQ = 25,12 cm

luas juring POQ /Luas Lingkaran = ∠ PQ /∠ 1 lingkaran

luas juring POQ /πr2 = 72°/360°

luas juring POQ = 0,2 x πr2

luas juring POQ = 0,2 x 3,14 x (20 cm)2

luas juring POQ = 251,2 cm2

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar!

P adalah titik pusat lingkaran dan luas juring PLM = 24 cm2. Luas juring PKN adalah ….

A. 27 cm2

B. 30 cm2

C. 32 cm2

D. 39 cm2

(Soal UN 2011/2012 kode A13)

Penyelesaian:

Dari soal di atas sudut yang akan dicari luas juringnya adalah sudut KPN = 60°, sedangkan sudut yang sudah diketahui luas juringnya adalah sudut LPM = 45°, cara penyelesaian yakni:

=> Membagi sudut luas juring akan dicari (sudut KPN) dengan sudut luas juring yang sudah diketahui (sudut LPM),

maka : 60°/45° = 4/3

=> Hasil pembagian tadi dikalikan dengan luas juring yang sudah diketahui (luas juring PLM),

maka: (4/3) x 24 cm2 = 32 cm2

Jadi, luas juring PKN adalah 32 cm2 (Jawaban C)

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar!

Titik O adalah pusat lingkaran dan luas juring OLM = 12 cm2. Luas juring OKL adalah ….

A. 14 cm2

B. 15 cm2

C. 16 cm2

D. 18 cm2

(Soal UN 2011/2012 kode A17)

Penyelesaian:

L. OKL = (~~80°~~/~~60°~~) x 12 cm2

L. OKL = (4/3) x 12 cm2

L. OKL = 4 x 4 cm2

L. OKL = 16 cm2 (Jawaban C)

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar!

Diketahui sudut AOB = 120°, sudut BOC = 150° dan luas juring OAB = 84 cm2. Luas juring BOC adalah ….

A. 110 cm2

B. 105 cm2

C. 100 cm2

D. 95 cm2

(Soal UN 2011/2012 kode B25)

Penyelesaian:

L. BOC = (~~150°~~/~~120°~~) x 84 cm2

L. BOC = (5/4) x 84 cm2

L. BOC = 5 x 21 cm2

L. BOC = 105 cm2 (Jawaban B)

contoh soal berikut ini.

Hitunglah luas dan keliling daerah yang diarsir?

Penyelesaian:

Luas daeah yang diarsir dapat dicari dengan cara mengurangi luas setengah lingkaran yang besar (berjari-jari 14 cm) dengan dua lingkaran yang luasnya setengah (berjari-jari 7 cm). Sekarang cari luas lingkaran yang besar, yakni:

L. besar = ½ πr2

L. besar = ½ (22/7)(14 cm)2

L. besar = 308 cm2

Sekarang cari luas lingkaran yang kecil, yakni:

L. kecil = 2(½πr2)

L. kecil = πr2

L. kecil = (22/7)(7 cm)2

L. kecil = 154 cm2

Sekarang cari luas yang diarsir, yakni:

L. arsir = L. besar - L. kecil

L. arsir = 308 cm2 - 154 cm2

L. arsir = 154 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 154 cm2

Keliling daeah yang diarsir dapat dicari dengan cara menjumlahkan keliling setengah lingkaran yang besar (berjari-jari 14 cm) dengan dua lingkaran yang kelilingnya setengah (berjari-jari 7 cm). Sekarang cari keliling lingkaran yang besar, yakni:

K. besar = ½(2πr)

K. besar = πr

K. besar = (22/7)14 cm

K. besar = 44 cm

Sekarang cari keliling lingkaran yang kecil, yakni:

K. kecil = 2 x ½ x 2πr

K. kecil = 2πr

K. kecil = 2(22/7)(7 cm)

K. kecil = 44 cm

Sekarang cari keliling yang diarsir, yakni:

K. arsir = K. besar + K. kecil

K. arsir = 44 cm + 44 cm

K. arsir = 88 cm

Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah 88 cm

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Ada banyak cara untuk menjawab soal di atas, akan tetapi di sini Mafia Online menggunakan konsep luas tembereng. Silahkan baca cara cepat menghitung luas tembereng. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita ambil satu helai daun sehingga panjang sisinya menjadi 7 cm. Untuk memudakan menjawab helai daun tersebut dapat gambarkan menjadi lingkaran yang jari-jarinya 7 cm, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:

L = 8 . 14 cm2

L = 112 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 112 cm2

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Caranya sama seperti cara menjawab soal sebelumnya di atas. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita buat lingkaran seperti gambar diatas. Sekarang kita cari panjang diameter lingkaran dengan teorema phytagoras, yakni:

d = √(72 + 72)

d = 7√2 cm

Sekarang cari jari-jari lingkaran:

r = d/2

r = 7√2/2

r = (7/2)√2 cm

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)((7/2)√2 cm)2

L = 7 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:

L = 8 . 7 cm2

L = 56 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 56 cm2

Contoh Soal 1

Hitunglah luas tembereng dari sebuah lingkaran dengan jari-jari 7 cm jika sudut pusatnya 60°.

Penyelesaian:

r = 7 cm

α = 60°

L = (α/360°)πr2 – ½ r2 sin α

L = (60°/360°)(22/7)72 – ½ .72 sin 60

L = 25,67 – 21,31

L = 4,36 cm2

Contoh Soal 2

Hitunglah luas tembereng jika sudut pusatnya 90° dengan jari-jari 7 cm.

Penyelesaian:

L = (α/360)πr2 – ½ r2 sin α

L = (90/360)(22/7)72 – ½ .72 sin 90°

(sin 90° = 1)

L = 38,5 – 24,5

L = 14 cm2

Untuk menghitung luas tembereng dengan sudut pusat 90° dapat menggunakan cara cepat menghitung luas tembereng yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Cara Cepat Menghitung Luas Tembereng Dengan Sudut Pusat 90

Jika panjang jari-jari lingkaran tersbut 7 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Cara lama (konsep dasar)

Luas lingkaran:

L = πr2

L = (22/7) . (7 cm)2

L = 154 cm2

Luas Juring AOB:

Luas juring/Luas lingkaran = sudut pusat/360°

Luas juring/154 cm2 = 90°/360°

Luas juring/154 cm2 = ¼

Luas juring = ¼ . 154 cm2

Luas juring = 38,5 cm2

luas ∆AOB

L = ½ . alas . tinggi

L = ½ . 7 cm . 7 cm

L = 24,5 cm2

Luas tembereng AB:

Luas tembereng = Luas juring – luas segitiga

Luas tembereng = 38,5 cm2– 24,5 cm2

Luas tembereng = 14 cm2

Jadi, luas tembereng AB adalah 14 cm2

Cara Cepat

Rumus:

Luas tembereng = (2/7)r2

Maka:

Luas tembereng = (2/7) . 7 cm .7 cm

Luas tembereng = 14 cm2

Jadi, luas tembereng AB adalah 14 cm2

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita ambil satu helai daun sehingga panjang sisinya menjadi 7 cm. Untuk memudakan menjawab luas arsiran (luas helai daun) tersebut dapat gambarkan menjadi lingkaran yang jari-jarinya 7 cm, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:

L = 8 . 14 cm2

L = 112 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 112 cm2

1.Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui juring ∠AOB = 45° dan OB = 7 cm, hitunglah panjang busur AB!

Penyelesaian:
Seperti yang telah dijelaskan diatas, pertama kita harus membagi sudut satu lingkaran penuh (360°) dengan sudut pusat yakni:
360°/45° = 8

Kedua, cari panjang busur (PB) lingkaran dengan cara membagi keliling lingkaran dengan hasil langkah pertama, yakni:
PB = 2πr/8
PB = 2 . (22/7) . 7 cm/8
PB = 44 cm/8
PB= 5,5 cm
Jadi, panjang busur AB adalah 5,5 cm

2.Sebuah juring memiliki sudut 90º dan jari-jarinya 7 cm. Berapakah panjang busur dan luas juringnya?

Diketahui :

θ = 90º

r = jari-jari = 7 cm.

Untuk mendapatkan panjang busur dan luas juring kita harus mencari keliling dan luas lingkaran.

Karena jari-jari 7 cm dan merupakan kelipatan dari 7, maka π = ²²/₇

Keliling lingkaran = 2πr
Keliling lingkaran = 2 × ²²/₇ × 7

Keliling lingkaran = 44 cm

Luas lingkaran = πr²
Luas lingkaran = ²²/₇ × 7²
Luas lingkaran = 154 cm²

Panjang busur

Rumus yang kita gunakan adalah yang ada sudut dan panjang busurnya.

90 dan 360 disederhanakan sehingga menjadi 1 banding 4
Kalikan silang antara 1 dan 44, kemudian kalikan silang panjang busur dengan 4
Untuk mendapatkan panjang busur, maka 44 harus dibagi dengan 4.
Diperoleh bahwa panjang busurnya adalah 11 cm.

Luas juring

Perhatikan penyelesaian dibawah ini..

Rumus yang dipakai adalah rumus yang ada sudut dan luas juring, karena yang diketahui besar sudut dan dicari luas juring. Untuk yang panjang busur tidak dipakai.

90 dan 360 disederhanakan menjadi 1 banding 4
kalikan silang 1 dan 154, kemudian kalikan silang luas juring dengan 4
Untuk mendapatkan luas juring, 154 dibagi dengan 4
Diperoleh luas juring = 38,5 cm²

Rumus Panjang Busur : Contoh Soal dan Penyelesaiannya

3.Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui ∠AOB = 120° dan OB = 21 cm, hitunglah panjang busur AB!

Penyelesaian:
Seperti yang telah dijelaskan diatas, pertama kita harus membagi sudut satu lingkaran penuh (360°) dengan sudut pusat yakni:
360°/120° = 3

Kedua, cari panjang busur (PB) lingkaran dengan cara membagi keliling lingkaran dengan hasil langkah pertama, yakni:
PB = 2πr/3
PB = 2 . (22/7) . 21 cm/3
PB = 132 cm/3
PB= 44 cm
Jadi, panjang busur AB adalah 44 cm

4.Perhatikan gambar di bawah ini!