sketsa

Sambungkan titik-titik yang sudah kita temukan, tapi jangan sambungkan dengan garis lurus ya!

Agar lebih paham, coba kita gambarkan grafik f(x) = 2x² + 5x - 3.

Langkah 1: Titik potong sumbu x. Syarat y = 0.

                     f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ 0 = 2x² + 5x - 3

                                                  ⇔ 0 = (2x - 1)(x + 3)

                                                  ⇔ 2x - 1 = 0 atau x + 3 = 0

                                                  ⇔ x = 1/2 atau x = -3

                    Jadi diperoleh titik potong sumbu x nya adalah (1/2, 0), (-3, 0).

Langkah 2: Titik potong sumbu y. Syarat x = 0.

                    f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ y = 2(0)² + 5(0) - 3

                                                  ⇔ y = 0 + 0 - 3

                                                  ⇔ y = -3

                    Jadi diperoleh titik potong sumbu y nya adalah (0, -3).

Langkah 3: Sumbu simetri grafik f(x) = 2x² + 5x - 3, dengan a = 2, b = 5, dan c = -3

                   x = -b/2a ⇒ x = -5/2(2)

                                  ⇔ x = -5/4

                    Jadi diperoleh sumbu simetrinya adalah x = -5/4.

Langkah 4: Titik balik. Karena a = 2 > 0, maka grafiknya akan terbuka ke atas (seperti lembah) dan titik baliknya adalah titik balik minimum.

                    (-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a)

                                            ⇒ (-5/2(2), -[(5)² - 4(2)(-3)]/4(2))

                                            ⇔ (-5/4, -[25 + 24)]/8)

                                            ⇔ (-5/4, -49/8)

                    Jadi diperoleh titik balik minimumnya adalah (-5/4, -49/8).

Langkah 5: Titik bantu.

                    Dipilih x = 1, maka

                    f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ y = 2(1)² + 5(1) - 3

                                                  ⇔ y = 2 + 5 - 3

                                                  ⇔ y = 4

                    diperoleh titik (1, 4)

                    Dipilih x = 2, maka

                    f(x) = 2x² + 5x - 3 ⇒ y = 2(2)² + 5(2) - 3

                                                  ⇔ y = 8 + 10 - 3

                                                  ⇔ y = 15

                    diperoleh titik (2, 15)

Langkah 6: Sketsa

                    Kita sudah peroleh

                    Titik potong sumbu x: (1/2, 0), (-3, 0)

                    Titik potong sumbu y: (0, -3)

                    Sumbu simetri: x = -5/4

                    Titik balik/ titik puncak: (-5/4, -49/8)

                    Titik bantu (optional): (1, 4), (2, 15)

                    Jadi sketsa grafiknya adalah sebagai berikut.

Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat (kurva)

Hanya dengan mengetahui a dan D dari fungsi kuadrat, kita bisa tau bagaimana bentuk grafiknya loh!!

Misalkan terdapat f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. D atau diskriminan memiliki rumus D = b² - 4ac.

Apabila:

Menyusun Fungsi Kuadrat

Misalkan kita ingin menyusun fungsi f menjadi f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0. 

• Apabila diketahui titik potong terhadap sumbu x, yaitu (x1, 0) dan (x2, 0). [Jika kurva hanya menyinggung di titik m, maka x1 = x2 = m]

           y = a(x - x1)(x - x2)

• Apabila diketahui titik balik atau titik puncaknya, yaitu (p,q)

           y = a(x-p)² + q

• Apabila diketahui melalui beberapa titik.

           Substitusikan titik-titik ke y = ax² + bx + c. Lalu lakukan substitusi atau eliminasi.

Contoh Soal

1. Tentukan koordinat titik balik dari g(x) = 8 - 2x - x²!

    Jawab

    g(x) = 8 - 2x - x² dengan a = -1, b = -2, c = 8

    Titik balik: (-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a)

                                               ⇒ (-(-2)/2(-1), -[(-2)² - 4(-1)(8)]/4(-1))

                                              ⇔ (-1, -[36]/-4)

                                              ⇔ (-1, 9)

    Jadi titik balik dari g(x) = 8 - 2x - x² adalah (-1, 9).

2. Apabila sebuah fungsi kuadrat f melalui titik (-4,0), (3/2, 0), dan (2, 6), fungsi kuadratnya adalah ...

    Jawab

    Titik (-4,0) dan (3/2, 0) adalah titik potong terhadap sumbu x karena y = 0.

    Misalkan x1 = -4 dan x2 = 3/2 

    y = a(x - x1)(x - x2) ⇒ y = a(x - (-4))(x - (3/2)) 

                                 ⇔ y = a(x + 4)(x - 3/2) 

                                 ⇔ y = a(x² - (3/2)x + 4x - 6) 

                                 ⇔ y = a(x² + (5/2)x - 6) 

    Substitusikan (2, 6) ke  y = a(x²+ (5/2)x - 6) 

    y = a(x²+ (5/2)x - 6) ⇒ 6 = a(2²+ (5/2)(2) - 6)

                                     ⇔ 6 = a(4 + 5 - 6)

                                     ⇔ 6 = a(3)

                                     ⇔ a = 2

    Substitusikan a = 2 ke y = a(x² + (5/2)x - 6) 

    y = a(x²+ (5/2)x - 6) ⇒ y = 2(x²+ (5/2)x - 6) 

                                    ⇔ y = 2x²+ 5x - 12

    Jadi fungsi kuadratnya adalah  y = 2x²+ 5x - 12.

3. Suatu sumbu simetri grafik fungsi  f(x) = ax² + bx + c adalah x = -1. Jika f(0) = -3 dan f(5) = 32, tentukan titik minimum fungsi tersebut!

    Jawab

    Rumus sumbu simetri adalah x = -b/2a, maka x = -b/2a = -1

    -b/2a = -1 ⇔ b = 2a 

                     ⇔ -2a + b = 0 ... (i)

    f(0) = -3, artinya f(x) = -3 untuk x = 0, lalu substitusikan ke f(x) = ax² + bx + c

    f(x) = ax² + bx + c ⇒ -3 = a(0)² + b(0) + c

                                  ⇔ c = -3 

    f(5) = 32, artinya f(x) = 32 untuk x = 5, lalu substitusikan ke f(x) = ax² + bx + c

    f(x) = ax² + bx + c ⇒ 32 = a(5)² + b(5) + (-3)

                                  ⇔ 32 = 25a + 5b -3 

                                  ⇔ 25a + 5b = 35

                                  ⇔ 5a + b = 7 ... (ii)

    Dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh:

    -2a + b = 0

    5a  + b = 7

    ------------- -

    -7a + 0 = -7  ⇔ a = 1

    Substitusikan a ke persamaan (i)

    -2a + b = 0 ⇒ -2(1) + b = 0

                      ⇔ b = 2

    Substitusikan a = 1, b = 2, c = -3 ke f(x) = ax² + bx + c, sehingga diperoleh f(x) = x² + 2x - 3

    

    Titik minimum adalah titik balik fungsi.

    Titik minimum: (-b/2a, -D/4a) ⇔ (-b/2a, -[b² - 4ac]/4a)

                                                      ⇒ (-2/2(1), -[(2)² - 4(1)(-3)]/4(1))

                                                      ⇔ (-1, -[16]/4)

                                                      ⇔ (-1, -4)

    Jadi minimumnya adalah (-1, -4).

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu X.

         Kalian tinggal ganti saja y dengan 0, sehingga akan ketemu X nya.

2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y.

        Kalian tinggal mengganti x dengan 0.

3. Tentukan titik balik atau titik puncak parabola dengan rumus:

Hasil x nya dimasukkan ke persamaan fungsi kuadrat maka akan ketemu titik Y.

4. Tentukan persamaan sumbu simetri.

        Rumusnya sama dengan poin 3 di atas.

Oke, tak ada guna kalau hanya teori belaka... mari kita perdalam dengan latihan soal...

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) =  x² + 2x – 3

Jawab:

f(x) = x² + 2x – 3 memiliki a = 1; b = 2; c = -3

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = x² + 2x – 3

x² + 2x – 3 = 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? Kalau lupa silahkan di refresh ingatan kalian disini.

jadi faktornya: (x + 3) (x – 1) = 0

a) titik 1:

x + 3 = 0

x = -3 karena y nya 0, maka titiknya (-3, 0) ..... titik (A) 

b) titik 2

x – 1 = 0

x = 1 karena y nya 0, maka titiknya (1, 0) ..... titik (B) 

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = x² + 2x – 3

y = x² + 2x – 3

y = (0)² + 2(0) – 3

y = -3 karena x = 0, maka titiknya (0, -3) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola 

X = -1 maka y bernilai:

f(x) = x² + 2x – 3

y = x² + 2x – 3

y = (-1)² + 2(-1) – 3

y = 1 – 2 – 3

y = -4 maka titiknya adalah (-1, -4) .... titik (D)

Langkah keempat:  Tentukan persamaan sumbu simetri.

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

2. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + 2x + 1

Jawab:

f(x) = x² + 2x + 1 memiliki a = 1; b = 2; c = 1

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = x² + 2x + 1

x² + 2x + 1 = 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? Kalau lupa silahkan di refresh ingatan kalian disini.

jadi faktornya: (x + 1) (x + 1) = 0

a) titik 1:

x + 1 = 0

x = -1 karena y nya 0, maka titiknya (-1, 0) ..... titik (A) 

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = x² + 2x + 1

y = x² + 2x + 1

y = (0)² + 2(0) + 1

y = 1 karena x = 0, maka titiknya (0, 1) .... titik (B)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola 

X = -1 maka y bernilai:

f(x) = x² + 2x + 1

y = x² + 2x + 1

y = (-1)² + 2(-1) + 1

y = 1 – 2 + 1

y = 0 maka titiknya adalah (-1, 0) .... titik (C)

Langkah keempat:  Tentukan persamaan sumbu simetri.

X = -1

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

3. Gambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = 2x² + x – 10

jawab:

f(x) = 2x² + x – 10 memiliki a = 2; b = 1; c = -10

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = 2x² + x – 10

2x² + x – 10 = 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? Kalau lupa silahkan di refresh ingatan kalian disini.

jadi faktornya: (2x + 5) (x – 2) = 0

a) titik 1:

2x + 5 = 0

2x = -5 

x = -5/2 = -2,5 karena y nya 0, maka titiknya (-2,5, 0) ..... titik (A) 

b) titik 2

x – 2 = 0

x = 2 karena y nya 0, maka titiknya (2, 0) ..... titik (B) 

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = 2x² + x – 10

y = 2x² + x – 10

y = 2(0)² + 0 – 10

y = -10 karena x = 0, maka titiknya (0, -10) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola 

X = -1/4 maka y bernilai:

f(x) = 2x² + x – 10

y = 2x² + x – 10

maka titiknya adalah .... titik (D)

Langkah keempat:  Tentukan persamaan sumbu simetri.

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

4. Gambarkanlah sketsa grafik f(x) = -x² + 4x + 12

Jawab:

f(x) = -x² + 4x + 12  memiliki a = -1; b = 4; c = 12

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = -x² + 4x + 12

-x² + 4x + 12= 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? 

jadi faktornya: (-x + 6) (x + 2) = 0

a) titik 1:

-x + 6 = 0

x = 6 karena y nya 0, maka titiknya (6, 0) ..... titik (A) 

b) titik 2

x + 2 = 0

x = -2 karena y nya 0, maka titiknya (-2, 0) ..... titik (B) 

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = -x² + 4x + 12

y =-x² + 4x + 12

y = -(0)² + 4(0) + 12

y = 12 karena x = 0, maka titiknya (0, 12) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola 

X = 2 maka y bernilai:

f(x) = -x² + 4x + 12

y = -x² + 4x + 12

y = -(2)² + 4(2) + 12

y =  -4 + 8 + 12

y = 16 maka titiknya adalah (2, 16) .... titik (D)

Langkah keempat:  Tentukan persamaan sumbu simetri.

X = 2 

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

5. Gambarkanlah grafik f(x) =   -x² - x + 2

Jawab:

f(x) = -x² - x + 2 memiliki a = -1; b = -1; c = 2

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = -x² - x + 2

-x² - x + 2

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? 

jadi faktornya: (x + 2) (-x + 1) = 0

a) titik 1:

x + 2 = 0

x = -2 karena y nya 0, maka titiknya (-2, 0) ..... titik (A) 

b) titik 2

-x + 1 = 0

x = 1 karena y nya 0, maka titiknya (1, 0) ..... titik (B) 

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = -x² - x + 2

y = -x² - x + 2

y = -(0)² - 0 + 2

y = 2 karena x = 0, maka titiknya (0, 2) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola 

X = -1/2  maka y bernilai:

f(x) = -x² - x + 2

y = -x² - x + 2

maka titiknya adalah (-1/2, 2 1/4) .... titik (D)

Langkah keempat:  Tentukan persamaan sumbu simetri.

X = -1/2

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.