PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan  adalah
A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}
Pembahasan:
Substitusikan persamaan y = x2 -2x - 3 ke persamaan y = -x2 -2x + 5
x2 -2x - 3 = -x2 -2x + 5
<=> 2x2 -8 = 0
<=> x2 - 4 = 0
<=> (x - 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2
Untuk x = 2
y = x2 - 2x - 3
y = (2)2 -2 (2) - 3
y = 4 - 4 - 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x2 - 2x - 3
y = (-2)2 -2 (-2) - 3
y = 4 + 4 - 3
y = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-2,5),(2,-3)} ----> Jawaban: C

Himpunan penyelesaian sistem persamaan :    adalah . . . . .
A. {(2,2)}      B. {(2,4)}     C. {(4,2)}     D. {(1,2)}     E. {(2,1)}
Pembahasan:
Dari persamaan 4x + y = 12 <=> y = 12 - 4x .......(1)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan 2x + y = 8, diperoleh:
2x + (12 - 4x) = 8
<=> 2x + 12 - 4x = 8
<=> -2x = 8 - 12
<=> -2x = -4
<=> x = 2
Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan (1) diperoleh:
y = 12 - 4(2)
y = 12 - 8
y = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,4)} -----> Jawaban: B

c. Metode Eliminasi
Metode eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode eliminasi:
1. Perhatikan koefisien x (atau y)
a. Jika koefisiennya sama:
        i)  Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama
        ii) Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah sebelumnya.
2. Lakukan kembali langkah (1) untuk mengeliminasi variabel lainnya.

Contoh soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan:  adalah {(p.q)}. Nilai p - q = .....
A. 0     B. 1     C. -1     D. 2     E. -2
Pembahasan:
Mengeliminasi variabel x
7x + 5y = 2   |x5| 35x + 25y = 10
5x + 7y = -2 |x7|  35x + 49y = -14 -
                                    -24y = 24
                                         y = -1
Mengeliminasi variabel y
7x + 5y = 2   |x7| 49x + 35y = 14
5x + 7y = -2 |x5|  25x + 35y = -10 -
                                     24x = 24
                                         x = 1
Himpunan penyelesaiannya {(p,q)} = {(-1,1)}
Nilai p - q = 1-(-1) = 2 --------> Jawaban: D

d. Metode Eliminasi-Subtritusi

Metode eliminasi-subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode elminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua.

Contoh Soal:
Di sebuah toko, Rabil membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan hargar Rp 4000,- Mazlan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9.500,- Alif ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga....
Pembahasan:
Misal: Barang A =  A dan Barang B = B
Diketahui:
Rabil => 4A + 2B = 4000 <=> 8A + 4B = 8000
Mazlan => 10A + 4B = 9500
Alif => A + B = .....?
Dengan menggunakan eliminasi:
8A + 4B = 8000
10A + 4B = 9500 -
<=> -2A = -1500
<=> A = 750
Subtitusi nilai A = 750 ke salah satu persamaan, diperoleh:
4(750) + 2B = 4000
<=>  3000 + 2B = 4000
<=> 2B = 1000
<=> B = 500
Maka A + B = 750 + 500 = 1.250
Jadi, harga sebuah barang A dan sebuah barang B adalah Rp 1.250,-

Soal ❶ (UN 2016)

Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Rp18.000,00. Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang diperoleh adalah....

A. Rp135.000,00

B. Rp115.000,00

C. Rp110.000,00

D. Rp100.000,00

Pembahasan:

Misalkan:

Mobil = x dan motor = y
Ditanyakan: 20x + 30y = ....?
Model matematika:
3x + 5y = 17.000  ......(1)
4x + 2y = 18.000  ......(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

3x + 5y =17.000 | x4 |12x + 20y = 68.000
4x + 2y =18.000 | x3 |12x + 6y = 54.000 -
                                        ⟺ 14y = 14.000
                                        ⟺ y = 14.000/14
                                        ⟺ y = 1.000
Subtitusi nilai y = 1.000 ke salah satu persamaan:
3x+ 5y = 17.000
⟺ 3x + 5(1.000) = 17.000
⟺ 3x + 5.000 = 17.000
⟺ 3x = 17.000 - 5.000
⟺ 3x = 12.000
⟺ x = 12.000/3
⟺ x = 4.000
Jadi, biaya parkir 1 mobil Rp4.000,00  dan 1  motor Rp1.000,00
20x + 30y = 20(4.000) + 30(1.000)
                 = 80.000 +  30.000
                 = 110.000
Jadi, banyak uang parkir yang diperoleh Rp110.000,00
(Jawaban: C)

Soal ❷(UN 2015) 

Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor. Jika jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor, maka jumlah kambing dan ayam masing-masing adalah....

A. 3 dan 10

B. 4 dan 9

C. 5 dan 8

D. 10 dan 3

Pembahasan:

Misalkan:
Kambing = x dan ayam = y
Jumlah kaki kambing = 4 dan kaki ayam = 2
Ditanyakan: Jumlah kambing dan ayam = ....?
Model matematika:
  x +   y = 13  ......(1)
4x + 2y = 32  ......(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
  x +   y = 13 | x4 | 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 -
                              ⟺ 2y = 20
                              ⟺ y = 20/2
                              ⟺ y = 10
Subtitusi nilai y = 10 ke salah satu persamaan:
x + y = 13
⟺ x + 10 = 13
⟺ x = 13 -  10
⟺ x = 3
Jadi, jumlah kambing = 3 ekor dan ayam = 10 ekor.
(Jawaban : A)

Baca Juga:
➧ Soal dan Pembahasan Menentukan Gradien Garis Lurus
➧ Soal dan Pembahasan Menentukan Persamaan Garis Lurus
➧ Soal dan Pembahasan Menentukan Persamaan Garis (Sejajar/Tegak Lurus)

Soal ❸ (UN 2014)

Diketahui harga 5 kg apel dan 3 kg jeruk Rp79.000,00 sedangkan harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk Rp49.000,00. Harga 1 kg apel adalah....

A. Rp11.000,00

B. Rp10.000,00

C. Rp9.000,00

D. Rp8.000,00

Pembahasan:

Misalkan:
Harga 1 kg apel = x   dan 1 kg jeruk = y

Ditanyakan: harga 1 kg apel (x) = ....?
Model matematika:
5x + 3y = 79.000  ......(1)
3x + 2y = 49.000  ......(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
5x + 3y =79.000 |x2|10x+6y = 158.000
3x + 2y =49.000 |x3|9x +6y = 147.000 -
                              ⟺ x = 11.000
Jadi, harga 1 kg apel Rp11.000,00
(Jawaban : A)

Soal ❹ (UN 2013)

Harga 7 kg gula dan 2 kg telur Rp105.000,00. Sedangkan harga 5 kg gula dan 2 kg telur Rp83.000,00. Harga 3 kg telur dan 1 kg gula adalah ....

A. Rp39.000,00

B. Rp53.000,00

C. Rp55.000,00

D. Rp67.000,00

Pembahasan:

Misalkan:
Harga 1 kg gula = x dan harga 1 kg telur = y
Ditanyakan: Harga 3 kg telur dan1kg gula
                     atau 3y + x = ....?
Model matematika:
7x + 2y = 105.000  ......(1)
5x + 2y = 83.000  ......(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
7x + 2y = 105.000
5x + 2y = 83.000 -
⟺ 2x = 22.000
⟺ x = 22.000/2
⟺ x = 11.000
Subtitusi nilai x = 11.500 ke salah satu persamaan:
7x + 2y = 105.000
⟺ 7(11.000) + 2y = 105.000
⟺ 77.000 + 2y = 105.000
⟺ 2y = 105.000 - 77.000
⟺ 2y  =28.000
⟺ y = 28.000/2
⟺ y  = 14.000
3y + x = 3(14.000) + 11.000
           = 42.000 + 11.000
           = 53.000
Jadi, harga 3 kg telur dan1kg gula adalah Rp53.000,00
(Jawaban: B)

Soal ❺ (UN 2013)

Harga 2 baju dan 1 celana Rp230.000,00. Sedangkan harga 3 baju dan 2 celana Rp380.000,00. Harga 1 baju dan 1 celana adalah....

A. Rp130.000,00

B. Rp140.000,00

C. Rp150.000,00

D. Rp170.000,00

Pembahasan:

Misalkan:
Harga 1 baju = x   dan 1 celana = y
Ditanyakan: harga 1 baju (x) dan 1 celana (y) = ....?
Model matematika:
2x +y = 230.000  ......(1)
3x + 2y = 380.000  ......(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
2x +y =230.000    |x3|6x+3y = 690.000
3x + 2y =380.000 |x2|6x +4y = 760.000 -
                                    ⟺ -y = -70.000
                                    ⟺ y = 70.000
Subtitusi nilai y = 70.000 ke salah satu persamaan:
2x + y = 230.000
⟺ 2x + 70.000 = 230.000
⟺ 2x = 230.000 - 70.000
⟺ 2x = 160.000
⟺ x =160.000/2
⟺ x = 80.000
x +y = 80.000 + 70.000 =150.000
Jadi, harga 1 baju  dan 1 celana adalah Rp150.000,00
(Jawaban : C)

Soal ❻ (UN 2010)
Nunik membeli 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong dengan harga Rp94.000,00. Nanik membeli 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi dengan harga Rp167.000,00. Jika harga 1 kg daging sapi dinyatakan dengan x dan 1 kg ayam dinyatakan dengan y, sistem persamaan linear dua variabel yang berkaitan dengan pernyataan di atas adalah....
A. x + 2y = 94.000 dan 3x + 2y = 167.000
B. x + 2y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000
C. 2x + y = 94.000 dan 3x + 2y = 167.000
D. 2x + y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000

Pembahasan:

Diketahui:
Harga 1 kg daging sapi = x   dan
Harga 1 kg ayam = y
* Nunik membeli 1 kg daging sapi dan 2 kg ayam potong dengan harga Rp94.000,00
   Model matematika:
   x + 2y = 94.000
* Nanik membeli 3 kg ayam potong dan 2 kg daging sapi dengan harga Rp167.000,00
   Model matematika:
   3y + 2x = 167.000 atau 2x +3y = 167.000
Jadi, model matematika dari soal adalah
x + 2y = 94.000 dan 2x + 3y = 167.000
(Jawaban: B)

Contoh 1 (Masalah Angka dan Bilangan)

Angka puluhan dari suatu bilangan yang terdiri dari dua angka adalah lebih besar 3 dari bilangan satuannya. Jumlah angka-angkanya 1/7 dari bilangannya. Carilah bilangan itu!

Pembahasan:

Misalkan angka puluhan dan angka satuan dari bilangan itu adalah p san s, maka:
Angka puluhan lebih besar 3 dari bilangan satuannya:

p = s + 3

p - s = 3 ..........(1)

Jumlah angka-angkanya 1/7 dari bilangannya:

p + s = 1/7 (10p + s)

⇔ 7p + 7s = 10p + s

⇔ 3p - 6s = 0

⇔ p - 2s = 0 ........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

p -  s = 3

p - 2s = 0 -

⇔ s = 3

Subtitusi nilai s = 3 ke persamaan (1) diperoleh:

p - s = 3

⇔ p - 3 = 3

⇔ p = 3 + 3

⇔ p = 6

Jadi, bilangan itu adalah 63

Soal 2 (Masalah Umur)

Dua tahun yang lalu seorang laki-laki umurnya 6 kali umur anaknya. 18 tahun kemudian umurnya akan menjadi dua kali umur anaknya. Carilah umut mereka sekarang!

Pembahasan:

Misalkan umur ayah sekarang x tahun dan umur anaknya y yahun, maka:

x - 2 = 6(y - 2)

⇔ x - 2 = 6y - 12

⇔ x - 6y = -12 + 2

⇔ x - 6y = -10 ..........(1)

18 tahun kemudian:

x + 18 = 2(y + 18)

⇔ x + 18 = 2y + 36

⇔ x - 2y = 36 - 18

⇔ x - 2y = 18 ...........(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

x - 6y = -10

x - 2y = 18  -

⇔ -4y = -28

⇔ y = -28/-4

⇔ y = 7

Subtitusi nilai y = 7 ke persamaan (1) diperoleh:

x - 2y = 18

⇔ x - 2(7) = 18

⇔ x - 14 = 18

⇔ x = 18 + 14

⇔ x = 32

Jadi, sekarang umur ayah 32 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.

Soal 3 (Masalah Uang)

Di dalam dompet Laras terdapat 25 lembar uang lima ribu rupiah dan 10 ribu rupiah. Jumlah uang itu adalah Rp200.000,00. Berapa jumlah uang itu masng-masing?

Pembahasan:

Misalkan banyaknya uang sepuluh ribu rupiah adalah x lembar dan uang lima ribu rupiah adalah y lembar, maka:
Banyak uang Laras 25 lembar

x + y = 25 ..........(1)
Jumlah uang Laras Rp200.000,00

10.000x + 5.000y = 200.000

2x + y = 40  .......(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

x + y = 25

2x + y = 40

-x = -15

x = 15

Subtitusi nilai x = 15 ke persamaan (1):

x + y = 25

15 + y = 25

y = 25 - 15

y = 10

Jadi:

Jumlah uang sepuluh ribu rupiah = 15 x Rp10.000,00 = Rp150.000,00

Jumlah uang lima ribu rupiah = 10 x Rp5.000,00 = Rp50.000,00

Soal 4 (Masalah Investasi dan Bisnis)

Pak Husein menginvestasikan 💲4000 uangnya, sebagian dengan suku bunga tunggal 5% dan sisanya 3%. Total pendapatan pet tahun dari investasi ini adalah 💲168. Berapa jumlah uang tiap bagian menurut tingkat suku bunganya?

Pembahasan:

Misalkan bagian uang yang diinvestasikan dengan suku bunga 5% dan 3% adalah x dolar dan y dolar, maka:
x + y = 4.000
3x + 3y = 12.000 .........(1)

Bunga dari 5% investasi + bunga dari 3% investasi = 168
5100x + 3100y = 168
5x + 3y = 168 x 100
5x + 3y = 16.800

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
3x + 3y = 12.000
5x + 3y = 16.800 -
       -2x = -4.800
          x = -4.800/-2
          x = 2.400

Subtitusi nilai x = 2.400 ke persamaan (1):
x + y = 4.000
2.400 + y = 4.000
             y = 4.000 - 2.400
             y = 1.600

Jadi, bagian uang pada suku bunga 5% adalah 💲2.400 dan pada suku bunga 3% adalah 💲1.600.

Soal 5 (Masalah ukuran)

Keliling sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang adalah 48 m. Panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya. Tentukan ukuran tanah itu!

Pembahasan:

Misalkan panjang dan lebar tanah itu masing-masing adalah x meter dan y meter.
Keliling = (2 . panjang) + (2 . lebar)
48 = 2x + 2y
24 = x + y atau
x + y =24 .........(1)

Panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya
panjang = lebar + 6
x = y + 6 ........(2)

Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1):
x + y = 24
(y + 6) + y = 24
       2y + 6 = 24
             2y = 24 - 6
             2y = 18
               y = 18/2
               y = 9
Subtitusi nilai y = 9 ke persamaan (2):
x = y + 6
x = 9 + 6
x = 15

Jadi, ukuran tanah itu adalah 15meter x 9meter.

Soal 6 (Masalah Campuran)

Suatu campuran 40 kg beras harganya Rp2.350,00/kg yang dicampur dari beras seharga Rp2.200,00/kg dan Rp2.500,00/kg. Berapa kg tiap-tiap bagian harus diambil?

Pembahasan:

Misalkan bagian yang harus diambil dari beras seharga Rp2.200,00/kg dan Rp2.500,00/kg masing-masing x kg dan y kg.
x + y = 40 atau
22x + 22y = 880 .....(1)

Harga beras campuran = Rp2.350,00/kg
2.200x + 2.500y = 40 x 2.350
2.200x +  2.500y = 94.000
22x + 25y = 940 ......(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2):
22x + 22y = 880
22x + 25y = 940 -
           -3y = -60
              y = -60/-3
              y = 20
Subtitusi nilai y = 20 ke persamaan (1):
x + y = 40
x + 20 = 40
x = 40 - 20
x = 20

Jadi, bagian beras yang harus diambil dari beras seharga Rp2.200,00/kg dan Rp2.500,00/kg masing-masing 20 kg.

Soal 7 (Masalah Gerakan)

Fauzan berjalan kaki dari kota A ke kota B. Bila dalam sejam ia berjalan 1½ km lebih cepat, maka ia hanya memerlukan waktu ⅘ dari waktu yang digunakanya. Bila ia berjalan ½ km lebih lambat dalam sejam, maka ia akan berjalan 2½ jam lebih lama. Berapa jarak kota A ke kota B?

Pembahasan:

Misalkan  waktu yang digunakan fauzan untuk berjalan adalah t dan kecepatannya v km/jam, maka
s = v x t.
dengan s = jarak, v = kecepatan dan t = waktu.
S = v x t

Fauzan berjalan 1½ km lebih cepat, maka hanya memerlukan waktu ⅘ dari waktu yang digunakanya:
S = ⅘ t (v + 1½)

vt =  ⅘ t (v + 1½)
⇔ 5v = 4(v + 1½)
⇔ 5v =   4v + 6
⇔ 5v - 4v = 6
⇔ v = 6 

Fauzan berjalan ½ km lebih lambat dalam sejam, maka ia akan berjalan 2½ jam lebih lama:
S = (t + 2½)(v - ½)
vt = vt - ½t + 2½v - (5/4)
10v - 2t = 5 .........(1)

Subtitusi nilai v = 6 ke persamaan (1)
10v - 2t = 5
10(6) - 2t = 5
⇔ 60 - 2t = 5
⇔ -2t = 5  - 60
⇔ -2t = -55
⇔ t = -55/2
⇔ t = 27½

S = v x t
S = 6 x 27½
S = 165
Jadi, jarak kota A ke kota B adalah 165 km.