Persamaan Kuadrat

Soal No. 1
Diberikan bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Dari bentuk bentuk dibawah ini tentukan masing-masing nilai dari a, b, dan c!
(i) 2x(x – 3) = 8
(ii) x² -5x = – 12
(iii) 3x + ⁶/_x = 5

Pembahasan
Ubah bentuknya menjadi ax² + bx + c = 0 pada semua item:
(i) 2x(x – 3) = 8
2x² -6x = 8
2x² -6x – 8 = 0
Terlihat, a = 2, b = -6 dan c = -8

(ii) x² -5x = -12
x² -5x + 12 = 0
Terlihat, a = 1, b = -5 dan c = 12

(iii) x + ⁶/_x = 5
Ruas kiri dikalikan x, ruas kanan juga dikalikan x sehingga
(3x + ⁶/_x)x = 5x
x² + 6 = 5x
3x² – 5x + 6 = 0
Terlihat, a = 3, b = -5 dan c = 6

Soal No. 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan kuadrat berikut ini:
(i) x² – 9 = 0
(ii) x² – 16 = 0

Pembahasan
Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat, tentukan nilai x₁ dan x₂ salah satu caranya dengan pemfaktoran:
(i) x² – 9 = 0
Bentuk a² – b² = (a – b)(a + b)

Sehingga
x² – 9 = 0
x² – 3² = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x – 3 = 0
x = 3

atau
(x + 3) = 0
x = -3
Himpunan penyelesaiannya {x₁, x₂} = {-3, 3}

(ii) x² – 16 = 0
Dengan cara yang sama nomor sebelumnya:
x² – 16 = 0
x² – 4² = 0
(x – 4)(x + 4) = 0
(x – 4) = 0
x = 4

atau
(x + 4) = 0
x = -4
HP adalah {-4, 4}

Soal No. 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 2x² + 7x + 3 = 0

Pembahasan
Dengan pemfaktoran:
2x² + 7x + 3 = 0
(2x + 1)(x + 3) = 0
(2x + 1) = 0
2x = -1
x = -1/2

atau
(x + 3) = 0
x = -3
Himpunan penyelesaian adalah {-3, -1/2}

Soal No. 4
Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisinya berturut-turut adalah x, x + 3, dan x + 6. Tentukan:
a) nilai x
b) panjang ketiga sisi segitiga

Pembahasan
a) Pada sebuah segitiga siku-siku berlaku aturan pythagoras dimana kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya.
(x + 3)² + x²= (x + 6)²
x² + 6x + 9 + x² = x² + 12x + 36
x² + 6x + 9 + x² – x² – 12x – 36 = 0
x² -12x -27 =0

Faktorkan:
(x – 9)(x + 3) = 0
(x – 9) = 0
x = 9

atau
(x + 3) = 0
x = -3
Nilai yang mungkin adalah x = 9

b) panjang ketiga sisi segitiga
sisi pertama = x = 9
sisi kedua = x + 3 = 9 + 3 = 12
sisi ketiga = x + 6 = 9 + 6 = 15

Soal No. 5
Diberikan persamaan kuadrat x² – 7x + 12 = 0 yang memiliki akar-akar x₁ dan x₂

Tentukan nilai dari:
a) x₁ + x₂
b) x₁ ⋅ x₂

Pembahasan
Pada persamaan kuadrat berlaku untuk jumlah dan hasil kali akar-akarnya sebagai berikut:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ ⋅ x₂ = c/a

Sehingga:
a) x₁ + x₂ = -b/a = -(-7)/1 = 7
b) x₁ ⋅ x₂ = c/a = 12/1 = 12

Soal No. 6
Diberikan sebuah persamaan kuadrat:
x² + x −30 = 0

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat di atas
a) dengan cara pemfaktoran
b) dengan menggunakan rumus ABC

Pembahasan
PK: x² + x −30 = 0
a) dengan cara pemfaktoran

x² + x −30 = 0
(x − 5)(x + 6) = 0
x − 5 = 0 \/ x + 6 = 0
x − 5 = 0
x = 5

x + 6 = 0
x = −6

b) dengan menggunakan rumus ABC

Masukkan angkanya:

Sehingga diperoleh nilai akar-akarnya

Kedua cara menghasilkan jawaban yang sama yaitu 5 atau -6

Soal No. 7
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
2x² + 4x – 3 = 0

Pembahasan
Sukar difaktorkan, gunakan saja rumus ABC

Sehingga akar-akarnya, yaitu x₁ dan x₂ berturut-turut adalah

Soal No. 8

Suatu persamaan kuadrat memiliki dua buah akar masing-masing − 98 dan 100. Jika persamaan kuadrat tersebut berbentuk ax² + bx + c = 0, tentukan nilai a, b dan c dari persamaan tersebut!

Pembahasan
Dari contoh pemfaktoran pada soal sebelumnya, akan terlihat bahwa x = −98 berasal dari faktor (x + 98) = 0, dan x = 100 berasal dari faktor (x − 100) = 0. Sehingga persamaan kuadrat tersebut adalah

Terlihat bahwa:

a = 1
b = −2
c = −9800

Soal No. 9
Diberikan sebuah persamaan kuadrat x² −8x + 15 = 0 dengan akar-akarnya adalah p dan q. Jika p lebih besar dari q, maka nilai dari 2p² + q² −pq adalah…..(matematika123.com_ 2020-)
A. 7
B. 14
C. 28
D. 44

Pembahasan
Persamaan kuadrat yang diberikan dapat difaktorkan dengan mudah:
x² −8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0
x − 3 = 0 \/ x − 5 = 0
x = 3 \/ x = 5

Karena p > q, maka yang jadi p adalah 5 dan 3 menjadi q.

Sehingga:
2p² + q² −pq
= 2(5)² + (3)² −(5)(3)
= 50 + 9 − 15
= 44

Jawaban: D. 44

Soal No. 10
Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar yaitu 2 dan 3. Tentukan persamaan kuadrat tersebut!

Pembahasan
Selain dengan cara seperti soal no. 8 sebelumnya, bisa juga digunakan rumus menyusun persamaan kuadrat sebagai berikut:

x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0

Di mana x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat.

Sehingga dari soal di atas:

x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0

x² − (2 + 3)x + (2)(3) = 0
x² − 5x + 6 = 0

Soal No. 11
Diberikan persamaan kuadrat:
2x² + 5x -7 = 0
Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat di atas, tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya α + 1 dan β + 1 !

Pembahasan
Untuk PK yang susah difaktorkan, gunakan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar saja. Meski belum diketahui besarnya masing-masing akar, namun soal tetap dapat diselesaikan.

Jumlah dan hasil kali akar-akar PK (lihat kembali contoh soal no. 5):
x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/a

Sehingga:
α + β = -b/a = -5/2
αβ = c/a = -7/2

Menyusun persamaan kuadrat yang diminta dengan akar-akar α +1 dan β + 1
x² -(x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0
x² -(α + 1 + β + 1)x + (α + 1)(β + 1) = 0
x² -(α + β + 2)x + αβ + α + β + 1 = 0
x² -(-5/2 + 2)x + (-7/2) + (-5) + 1 = 0

Kalikan 2
2x² + x – 7 – 5 + 1 = 0
2x² + x – 11 = 0

Soal No. 12
Penyelesaian dari 15 – 2t – t² = 0 antara lain…
A. t₁ = –5, t₂ = 3
B. t₁ = 5, t₂ = 3
C. t₁ = 5, t₂ = –3
D. t₁ = –5, t₂ = –3

Pembahasan
Pemfaktoran persamaan kuadrat:
15 – 2t – t² = 0
t² + 2t – 15= 0
(t + 5)(t – 3) = 0
t = – 5 \/ t = 3

Fungsi Kuadrat

Soal No. 13
Diberikan fungsi-fungsi kuadrat sebagai berikut ini:
a) f(x) = x² + 9x − 36
b) y = 2x² −7x −15

Tentukan koordinat dari titik-titik potong fungsi di atas untuk sumbu x dan sumbu y pada bidang Cartesius!

Pembahasan
Titik Potong sumbu x
Suatu fungsi kuadrat f(x) atau y akan memotong sumbu x saat f(x) = 0 atau y = 0.

Sehingga:
a) Untuk f(x) = x² + 9x − 36
Titik potong pada sumbu x saat f(x) = 0
x² + 9x − 36 = 0

Faktorkan:
(x − 3)(x + 12) = 0
x = 3 \/ x = −12

Titik potong pada sumbu x untuk fungsi kuadrat ini:
(3, 0) dan (−12, 0)

b) Untuk y = 2x² −7x −15
Titik potong pada sumbu x saat y = 0
2x² −7x −15 = 0

Faktorkan juga:
(2x + 3)(x − 5) = 0
x = −³/₂ \/ x = 5

Titik potong pada sumbu x untuk fungsi kuadrat ini:
(−³/₂, 0) dan (5, 0)

Titik Potong sumbu y

Titik potong pada sumbu y saat nilai x = 0 sehingga:
a) Untuk f(x) = x² + 9x − 36
x = 0 → f(0) = 0² + 9(0) − 36 = −36
TP = (x, y) = (0, −36)

b) Untuk y = 2x² −7x −15
x = 0 → y = 2(0²) −7(0) −15 = −15
TP = (x, y) = (0, −15)

Soal No. 14
Koordinat titik balik maksimum kurva parabola y = –¹/₂ x² + 4x – 3¹/₂ dengan x ∈ R dan y ∈ R ialah …(Ebtanas Matematika SMP)
A. (4, 4¹/₂)
B. (–4, 4¹/₂)
C. (4, –4¹/₂)
D. (–4, –4¹/₂)

Pembahasan
Koordinat titik balik:
x = -b/2a
x = -4 / 2(-¹/₂)
x = -4 / -1
x = 4 ////

Masukkan x = 4 ini ke y

y = –¹/₂ x² + 4x – 3¹/₂
y = –¹/₂(4)² + 4(4) – 3¹/₂
y = 4 ¹/₂

Jadi koordinatnya adalah (4, 4¹/₂)

Soal Latihan Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Soal No. 15
Faktor dari bentuk 2x² – x – 3 adalah…
A. (2x – 3) (x + l)
B. (2x + 3) (x – 1)
C. (2x + l) (x – 3)
D. (2x – l) (x + 3)

Soal No. 16
Suatu fungsi kuadrat didefinisikan f (x) = 12 + 4x – x². Jika daerah asal adalah {x | –3 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}, maka pernyataan yang benar adalah…
A. titik balik maksimum adalah titik (2, 16)
B. titik balik maksimum adalah titik (16, 2)
C. tifik balik minimum adalah titik (2, 16)
D. titik balik minimum adalah titik (16, 2)

Soal No. 17
Jika f (x) = x² – 2x, x ∈ R maka bayangan –2 oleh f adalah…
A. 0
B. –8
C. 8
D. 6

Soal No. 18
Himpunan penyelesaian dari (x – 3)² = 100 adalah…
A. {13}
B. {7}
C. {13, –7}
D. {–13, 7}

Soal No. 19
Fungsi kuadrat f (x) = x² – 4x – 12 diagramnya ada di bawah. Mana pernyataan-pernyataan yang benar ?

A. Persamaan sumbu simetri x = 2

B. Nilai minimum fungsinya 16

C. Himpunan dari daerah asal di mana f (x) < 0 ialah {x | 2 < x < 6}
D. Titik potong parabola dengan sumbu y adalah (–12, 0)

Soal No. 20
2x² – x – 3 dapat difaktorkan menjadi…
A. (x + 3) (2x – 1)
B. (x – 1) (2x + 1)
C. (2x + 3) (x – l)
D. (2x – 3)(x + l)

Contoh Soal 1 : Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Diketahui bentuk umum dari persamaan x² – 3 = 4(x – 2) adalah ax² + bx + c = 0. Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat tersebut!

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Pertama, kita haru merubah bentuk persamaan menjadi bentuk umum terlebih dahulu.

x² – 3 = 4(x – 2)

x² – 3 = 4x – 8

x² – 3 – 4x + 8 = 0

x² – 4x + 5 =0

Persamaan sudah dalam bentuk ax² + bx + c = 0, maka

a = 1

b = -4

c = 5

Jadi, nilai a, b, dan c dari persamaan x² – 3 = 4(x – 2) berturut-turut adalah 1, -4, dan 5.

Contoh Soal 2 : Akar Persamaan Kuadrat

Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x² – 6x + c = 0 adalah 3. Tentukan nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Pertama-tama, substitusikan nilai x = 3 ke persamaan kuadrat tersebut:

x² – 6x + c = 0

3² – 6(3) + c = 0

9 – 18 + c = 0

-9 + c = 0

c = 9

Jadi, nilai c yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah 9.

Contoh Soal 3 : Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

Diketahui salah satu akar dari persamaan kuadrat x² + 3x + c = 0 adalah 4. Tentukan nilai akar lainnya!

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Pertama, substitusikan nilai x = 4 untuk mengetahui nilai c:

x² + 3x + c = 0

4² + 3(4) + c = 0

16 + 12 + c = 0

28 + c = 0

c = -28

Substitusi nilai c ke persamaan awal, lalu faktorkan

x² + 3x + c = 0

x² + 3x -28 = 0

(x-4)(x+7)=0

x = 4 atau x = -7

Jadi, akar lainnya dari persamaan kuadrat tersebut adalah -7.

Contoh Soal 4 : Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 8x + 15 = 0 !

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Dengan menggunakan metode pemfaktoran, dapat kita peroleh:

x² – 8x + 15 = 0

(x -3)(x -5) = 0

x = 3 atau x = 5

HP = {3, 5}

Jadi, himpunan penyelesaian dari x² – 8x + 15 = 0 adalah {3, 5}

Contoh 5 : Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

Diketahui akar-akar persamaan x² + 4x – 12 = 0 adalah x₁ dan x₂. Tentukan hasil dari x₁ + x₂!

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Dari x² + 4x – 12 = 0, diketahui:

a = 1

b = 4

c = -12

Maka, dapat kita hitung Jumlah akar-akarnya dengan rumus:

x₁ + x₂ = ^-b/_a

x₁ + x₂ = ^–⁴/₁

x₁ + x₂ = -4

Jadi, hasil dari x₁ + x₂ adalah -4.

Contoh 6 : Menentukan Akar Lainnya dari Persamaan Kuadrat

Salah satu akar dari persamaan 2x² + 4x+ c = 0 adalah -3, akar lainnya adalah …

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Dengan mensubstitusikan nilai x = 3 akan diperoleh

2x² + 4x+ c = 0

2(-3)² + 4(-3)+ c = 0

2(9) – 12 + c = 0

18 – 12 + c = 0

6 + c = 0

c = -6

Substitusi nilai c ke persamaan, lalu faktorkan:

2x² + 4x+ c = 0

2x² + 4x – 6 = 0

(2x-2)(x+3) = 0

x = ²/₂= 1 atau x = -3

Jadi, akar lainnya dari persamaan tersebut adalah 1.

*Catatan:

Setelah mendapat 2x² + 4x -6 = 0, kita juga bisa menyederhanakan terlebih dahulu, lalu memfaktorkannya:

2x² + 4x -6 = 0

2(x² + 2x -3) = 0

x² + 2x -3 = 0

(x-1)(x+3) = 0

x = 1 atau x = -3

Contoh 7 : Menentukan Nilai koefisien Persamaan Kuadrat

Diketahui nilai akar-akar dari persamaan x²+ bx + c = 0 adalah 3 dan -1. Berapakah nilai b yang memenuhi persamaan tersebut?

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Diketahui:

x₁ = 3

x₂=-1

a = 1

Penyelesaian:

x₁+ x₂ = ^-b/_a

x₁+ x₂ = ^–^b/_a

3 + (-1) = ^-b/₁

3 – 1 = -b

2 = -b

b = -2

Jadi, nilai b yang memenuhi persamaan tersebut adalah -2.

Contoh 8 : Melengkapi Kuadrat Sempurna

Carilah bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x² – 6x – 7 = 0 !

Pembahasan

Lihat Pembahasan

x² – 6x – 7 = 0

x² – 6x + 9 – 9 – 7 = 0

x² – 6x + 9 – 16 = 0

x² – 6x + 9 = 16

(x-3)² = 16

Jadi, bentuk kuadrat sempurna dari persamaan x² – 6x – 7 = 0 adalah (x-3)² = 16.

Contoh 9 : Menentukan Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jika diketahui sebuah persamaan kuadrat x² – 6x + 9 = 0. Maka Jenis akar-akarnya adalah …

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Berdasarkan nilai akarnya menggunakan pemfaktoran:

x² – 6x + 9 = 0

(x – 3)(x – 3) = 0

x = 3 atau x = 3

Berarti, akarnya real kembar.

Cara kedua :

Temukan nilai diskriminannya:

D = b² – 4ac

D = (-6)2 – 4(1)(9)

D = 36 – 36

D = 0

Karena D = 0, maka akar-akarnya adalah real kembar.

Contoh 10 : Menyusun Persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar 4 dan -7. Maka persamaan kuadratnya adalah…

Pembahasan

Lihat Pembahasan

Persamaan kuadratnya adalah:

(x – x₁)(x – x₂) = 0

(x – (4))(x – (-7)) = 0

(x – 4)(x + 7) = 0

x² – 4x + 7x – 28 = 0

x² +3x – 28 = 0

Jadi, persamaan yang akar-akarnya bernilai 4 dan -7 adalah x² +3x – 28 = 0.

Contoh 1 (SKALU 1978)

Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x - 5 = 0, maka x12 + x22 adalah.....

A. 26

B. 31
C. 37
D. 41
E. 46

Pembahasan:

Persamaan x2 - 6x - 5 = 0 memiliki koefisien a =1, b = -6, dan c = -5

x1 + x2= (-b)/a = -(-6)/1 = 6

x1 . x2 = c/a = (-5)/1 = -5

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2

= (6)2- 2(-5)

= 36 + 10

= 46 -------> Jawaban: E

Contoh 2 (PPI 1979)

Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 5x + 9 = 0, maka x13 + x23 sama dengan.....

A. 10
B. 5

C. 1
D. -5
E. -10

Pembahasan:

Persamaan x2 - 5x + 9 = 0 memiliki koefisien a =1, b = -5, dan c = 9

x1 + x2= (-b)/a = -(-5)/1 =5

x1 . x2 = c/a = 9/1 = 9

x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)
                = (5)3-3(9)(5)
                = 125 -135
= -10 ------------> Jawaban: E

Contoh 3 (SIPENMARU 1988)
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 - 9x + 4 = 0 adalah.....
A. -4/9
B. -3/4
C. -9/4
D. 9/4
E. 3/4
Pembahasan:
Persamaan 3x2 - 9x + 4 = 0 memiliki koefisien a =3, b = -9, dan c = 4

x1 + x2= (-b)/a = -(-9)/3 = 3

x1 . x2 = c/a = 4/3
Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah
1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) : (x1.x2)
                   = 3: (4/3)
                   = 9/4 -----------> Jawaban: D

Contoh 4 (PPI 1981)
Akar-akar persamaan 2x2 - 6x - p = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 - x2 = 5, maka nilai p adalah.....
A. 8
B.6
C.4
D.-6
E.-8
Pembahasan:
2x2 - 6x - p = 0 memiliki koefisien a= 2, b = -6 dan c = -p
x1 + x2 = -b/a = -(-6)/2 = 3
x1 + x2 = 3
x1 - x2 = 5
------------- +
<=> 2x1 = 8
<=> x1 = 4
Subtitusi nilai x1 = 4 diperoleh:
x1 + x2 = 3
<=> x2 = 3 - x1
<=> x2 = 3 - 4
<=> x2 = -1
Nilai p :
x1 . x2 =c/a
<=> (4).(-1) = -p/2
<=> -8 = -p
<=> p = 8 --------------> Jawaban: A

Menyelesaikan persamaan kuadrat berdasarkan sifat-sifat akar persamaan kuadrat
Contoh 5 (UMPTN 1993)
(m + 3)x2 + 2(m - 7)x + m-3 = 0 akan mempunyai akar-akar positif jika.....
A. -3< m <3
B. 3< m < 29/7
C. -3 < m < 7
D. -7 < m < 3
E. -29/7 < m < -3
Pembahasan:
Dari (m + 3)x2 + 2(m - 7)x + m-3 = 0, diperoleh a = m + 3, b = 2(m- 7), dan c = m-3
Syarat mempunyai akar positif:
1) D = b2 - 4ac ≥ 0
<=> (2(m-7))2 - 4(m+3)(m - 3) ≥ 0
<=> 4(m2- 14m + 49) - 4(m2 - 9)  ≥ 0
<=>  m2- 14m + 49 - m2 + 9 ≥ 0
<=> -14m + 58 ≥ 0
<=> -14m ≥ -58
<=> m ≤ 58/14
<=> m ≤ 29/7
2) x1 + x2 > 0
<=> -b/a > 0
<=> -2(m -7)/(m+3) >0
<=> -3 < m < 7
3) x1.x2 > 0
<=> c/a > 0
<=> (m - 3)/(m + 3) > 0
<=> m < -3 atau m > 3
(1) ∩ (2) ∩ (3) = 3 < m < 29/7 ---------> Jawaban: B

Menyusun persamaan kuadrat yang telah diketahui akar-akarnya
Contoh 6 (PPI 1980)
Jika 2 dan 3 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah.....
A. x2 + x + 5 = 0
B. x2 + 6x + 5 = 0
C. x2 + 5x - 6 = 0
D. x2 - 5x + 6 = 0
E. x2 + x + 5 = 0
Pembahasan:
Misalkan x1 = 2 dan x2 = 3, maka:
x1 + x2 = 2 + 3 = 5
x1 . x2 = 2 . 3 = 6
Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
x2- (x1 + x2)x + x1.x2 =0
x2- 5x + 6 = 0 -------------> Jawaban: D

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat ?2− 3? − 10 = 0 ! Jawab: ? + ?=? dan ?? =?

? + ?=−3 dan ?? =6

misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain.

misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain.

Karena yang sama pada permisalan pertama dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka dipakai ? = −5 dan ? = 2

?2 − 3? − 10 = (? + ?)(? + ?)

?2− 3? − 10 = (? − 5)(? +2)

Coba dicek

(? − 5)(? + 2) = ?2 + 2? − 5? − 10 (? − 5)(? + 2) = ?2 − 3? − 10

Akar-akar persamaan kuadrat

(? − 5)(? + 2) = 0

? − 5 = 0 atau ? + 2 = 0

? = 5 atau ? = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ?2 − 3? − 10 = 0 adalah ? = 5 atau ? = −2.

Kuadrat Sempurna

Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat ?2 − 3? − 10 = 0 ! Jawab: ? = 1, ? = −3, dan ? = −10

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat ?2 − 3? − 10 = 0 adalah ? = 5 atau ? = −2.

Rumus ???

Jumlah Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan dengan akar-akar x1 dan x2

Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diketahui akar-akar suatu persamaan adalah x1 dan x2, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagi berikut:

Dengan menggunakan perkalian factor

Contoh: Susulah suatu persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui -8 dan 5

Jawab:

x1 = -8 dan x2 = 5

Dengan menggunakan sifat akar persamaan kuadrat

Contoh: susunlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya -2 dan 7!

Jawab:

Karena x1 = -2 dan x2 = 7, maka

Jadi persamaan kuadrat adalah x² – 5x – 14 = 0

Untuk hal-hal khusus berlaku

Kedua akarnya saling berlawanan

Kedua akarnya saling kebalikan

Hubungan Diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

kedua akarnya real dan positif, maka

kedua akarnya real dan negatife, maka

Kedua akarnya real dan berlawanan tanda, maka

Kedua akarnya sama (kembar), maka

Kedua akarnya sama tapi tandanya berlawanan, maka

Kedua akarnya saling berkebalikan, maka

Salah satu akarnya nol, maka

B. Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal persamaan kuadrat, terdiri atas:

1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …

imajiner
kompleks
nyata, rasional dan sama
nyata dan rasional
nyata, rasional dan berlainan.

PEMBAHASAN :

NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

D < 0, memiliki akar-akar imajiner

D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar

D = b2 – 4ac

= (-3)2 – 4.5.1

= 9 – 20

= -11

JAWABAN : A

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …

3
2
1/2
–1/2
-2

PEMBAHASAN :

JAWABAN : C

3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …

-2/3
-3/2
2/3
3/2
5/2

PEMBAHASAN :

JAWABAN : D

4. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2)adalah …

x2 – x + 9 = 0
x2 + 5x + 9 = 0
x2 – 5x – 9 = 0
x2 – 5x + 5 = 0
x2 – 5x + 9 = 0

PEMBAHASAN :

PK Baru : x2 – (y1 + y2)x + y1.y2 = 0

y1 + y2 = (x1 + 2) + (x2 + 2)

= (x1 + x2) + 4

= – + 4

= 5

y1 . y2 = (x1 + 2)(x2 + 2)

= x1.x2 + 2x1 + 2x2 + 4

= x1.x2 + 2(x1 + x2) + 4

= – 2 + 4

= 3 + 2 + 4

= 9

PK Baru : x2 – 3x + 8 = 0

JAWABAN : E

5. Sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 diperoleh pada garis …

x = 3/2
x = 3/2
x = 5/2
x = 5/2
x = 3

PEMBAHASAN :

Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0

Y’ = 2x – 5

0 = 2x – 5

x = 5/2

jadi sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 adalah x = 5/2

JAWABAN : D

MATEMATIKA