Lingkaran Persekutuan

Garis singgung persekutuan dalam, persekutuan luar dan sudut yang berkait dengan sifat garis singgung.

Soal No. 1
Perhatikan gambar lingkaran berikut.

PQ adalah garis singgung lingkaran O yang berjari-jari 5 cm.

Jika panjang garis QR adalah 8 cm, tentukan luas segitiga QOS

Pembahasan
PQ garis singgung lingkaran, sehingga PQ tegak lurus dengan OS. Dengan phytagoras didapat:

Sehingga luas segitiga QOS adalah

Soal No. 2
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat titik O.

Jika besar sudut ABC adalah 70° dan titk C dan titik A berturut-turut adalah titik singgung garis CB dan AB pada lingkaran O, tentukan besar dari sudut AOC

Pembahasan
∠ OBC = ^70°/₂ = 35°
∠BOC = 180° − 90° − 35 = 55°

∠AOC = 2 × ∠ BOC = 155°    

∠AOC = 2 × ∠ BOC = 2 × 55° = 110°

Soal No. 3
Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah…
(Soal UN Matematika SMP Tahun 2007)
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 12 cm
D. 15 cm

Pembahasan
Garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran

Dengan pythagoras

Garis singgung kedua lingkaran sejajar dan sama panjang dengan garis CB yaitu 12 cm

Soal No. 4
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran 8 cm. Jika jarak titik pusat kedua lingkaran 17 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkaran 10 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah…
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 7 cm
D. 9 cm

Pembahasan
Misalkan lingkaran A dan B dengan jarak titik pusat AB dan panjang garis singgung persekutuan dalam adalah PQ:
AB = 17 cm
PQ = 8 cm
R_A = 10 cm
R_B = ….

Soal No. 5
Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, jari-jari lingkaran masing-masing 12 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah….
A. 16 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 30 cm

Pembahasan
Menentukan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Misalkan hendak menggunakan rumus yang seperti ini

dimana
p = jarak pusat ke pusat = 26 cm
R = 12 cm
r = 2 cm
d = garis singgung persekutuan luar = ….

masukkan datanya

Soal No. 6
Diketahui dua lingkaran jari-jari lingkaran masing-masing 14 cm dan 2 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah….
A. 16 cm
B. 18 cm
C. 22 cm
D. 25 cm

PembahDengan cara dan rumus yang sama  diperoleh garis singgungnya persekutuan luar:

Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut !

Panjang PQ = 20 cm, AB = 25 cm dan AP = 9 cm. Perbandingan luas lingkaran berpusat di A dengan luas lingkaran berpusat di B adalah…
A. 3 : 2
B. 5 : 3
C. 9 : 4
D. 9 : 7
(Soal UAN 2003)

Pembahasan
Data, A dan B pusat dua lingkaran yang berjarak 25 cm.

Misalkan format rumus yang dipakai seperti ini

dimana
d = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak pusat ke pusat lingkaran

maka jari-jari lingkaran kecilnya

sehingga perbandingan luasnya

Soal No. 8
Diketahui dua lingkaran jari-jari lingkaran masing-masing 10 cm dan 6 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah….
A. 4 cm
B. 8 cm
C. 12 cm
D. 16 cm

Pembahasan
Bentuk lain dari rumus soal sebelumnya adalah

masukkan datanya

Soal No. 9
Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran adalah 12 cm dan jarak dua titik pusat lingkaran tersebut adalah 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 8 cm, panjang jari-jari lingkaran lain adalah…. A. 2 cm
B. 3 cm
C. 5 cm
D. 6 cm

Pembahasan
Bentuk lain dari rumus garis singgung luar, dengan data  R = 8, p = 13, l = 12 dan r = dicari,

Soal No. 10
Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat di A dan B, masing-masing berjari-jari 34 cm dan 10 cm. Garis CD merupakan garis singgung persekutuan luar. Bila CD = 32 cm, panjang AB =…..
A. 66 cm
B. 44 cm
C. 42 cm
D. 40 cm

Pembahasan
Menentukan jarak pusat dua lingkaran, diketahui garis singgung persekutuan luarnya:

Soal No. 11
Dua buah roda dililit dengan tali seperti gambar berikut!

Perkirakan panjang tali yang melilit roda-roda tersebut!

Pembahasan
Perhatikan gambar:

Jika r adalah jari-jari, dan K = keliling lingkaran = 2π r
Panjang tali yang melilit roda-roda
p = 2r + 2r + 1/2K + 1/2K
p = 4r + K
p = 4r + 2πr = 4(21) + 2 (22/7)(21) = 84 + 132 = 216 cm

Soal No. 12
Delapan buah roda dililit dengan tali seperti gambar berikut, masing-masing roda diameternya 14 cm!

Tentukan panjang tali yang melilit roda-roda tersebut!

Pembahasan
Perhatikan gambar, D adalah diameter lingkaran, dan K adalah keliling:

Ada 8 D dan 1/4 K sebanyak 4. Jadi panjang talinya:

= 8 D + 4(¹/₄ K)

= 8 D + K

= 8 D + π D

= 8(14) +   (²²/₇)14

= 112 + 44 = 156 cm

Contoh Soal 1

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 24 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 26 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Penyelesaian

Diketahui:

d = 24 cm

p = 26 cm

R = 6 cm

Ditanyakan r = ?

Jawab :

d = √(p2 – (R + r)2) atau

d2 = p2 – (R + r)2

242 = 262 – (6+ r)2

576 = 676 – (6 + r)2

(6 + r)2 = 676 – 576

(6 + r)2 = 100

6 + r = √100
6 + r = 10

r = 10 – 6

r = 4

Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 4 cm

Contoh Soal 2

Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 12 cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam.

Penyelesaian:

Diketahui:

p = 24 cm

R = 12 cm

r = 5 cm

Ditanyakan: d = ?

Jawab:

d = √(p2 – (R + r)2)

d = √(242 – (12 + 5)2)

d = √(242 –172)

d = √(576 – 289)

d = √287

d = 16,94

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 16,94 cm

Contoh Soal 3

Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm.

Penyelesaian

Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut

Diketahui:

p = 30 cm

R = 14 cm

r = 4 cm

Ditanyakan: d = ?

Jawab:

d = √(p2 – (R + r)2)

d = √(302 – (14 + 4)2)

d = √(302 –182)

d = √(900 – 324)

d = √576

d = 24

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm

Contoh Soal 4

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Penyelesaian

Diketahui:

d = 15 cm

p = 17 cm

R = 3 cm

Ditanyakan r = ?

Jawab :

d = √(p2 – (R + r)2) atau

d2 = p2 – (R + r)2

152 = 172 – (3+ r)2

225 = 289 – (3 + r)2

(3 + r)2 = 289 – 225

(3 + r)2 = 64

3 + r = 8

r = 8 – 3

r = 5

Jadi, panjang jari-jari yang lain adalah 5 cm

1.    Unsur-unsur di bawah ini yang merupakan unsur lingkaran adalah...
a.    Jari-jari, tali busur, juring, dan diagonal
b.    Diameter, busur, sisi, dan bidang diagonal
c.    Juring, tembereng, apotema, dan jari-jari
d.    Garis tengah, jari-jari, busur, dan diagonal ruang
Pembahasan:
Unsur-unsur lingkaran yaitu:
1.    Jari-jari
2.    Diameter (garis tengah)
3.    Tali busur
4.    Busur
5.    Juring
6.    Tembereng
4.    Apotema
Jawaban yang tepat adalah C.

2.    Daerah yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur pada lingkaran adalah...
a.    Tembereng
b.    Tali busur
c.    Busur
d.    Juring
Pembahasan:
Mari kita bahas masing-masing opsi di atas:
a.    Tembereng = daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur lingkaran.
b.    Tali busur = ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran
c.    Busur = kurva lengkung yang berimpit dengan lingkaran
d.    Juring = daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran.
Jadi, Daerah yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur pada lingkaran adalah juring.
Jawaban yang tepat D.

3.    Besar a = ... derajat

a.    35
b.    30
c.    25
d.    20
Pembahasan:
Sudut pusat = 70
Sudut keliling = a
Sudut pusat = 2 kali sudut keliling
70 = 2 x a
a   = 70 : 2
a   = 35
jawaban yang tepat A.

4.    Pada gambar di bawah, O adalah pusat lingkaran. Jika besar <BCD = 35 derajat, besar <AOD adalah... derajat

a.    110
b.    105
c.    70
d.    35
Pembahasan:
<BCD = 35
<AOD dan <BOD adalah sudut pusat
<BCD adalah sudut keliling
<BCD dan <BOD menghadap busur yang sama, ini berarti:
<BOD = 2 x <BCD
            = 2 x 35
            = 70
<AOD dan <BOD saling berpelurus, oleh karena itu jumlahnya 180 derajat.
<AOD + < BOD = 180
<AOD + 70         = 180
<AOD                  = 180 – 70
<AOD                  = 110
Jawaban yang tepat A.

5.    Perhatikan gambar di bawah ini!

Titik O adalah pusat lingkaran. Besar <BAC = ... derajat
a.    90
b.    70
c.    60
d.    20
Pembahasan:
<ABC = 20
<BCA = 90 (karena menghadap diameter AB)
< BAC = 180 – (20 + 90) (karena ABC berbentuk segitiga dan sudut-sudut pada segitiga totalnya 180 derajat)
<BAC = 180 – 110
<BAC = 70
Jawaban yang tepat B.

6.    Perhatikan gambar di bawah ini!

M adalah pusat lingkaran. Besar <PSR adalah... derajat
a.    55
b.    70
c.    110
d.    140
Pembahasan:
<PQR = 180 – 110 (karena berpelurus)
<PQR = 70
Pada segiempat tali busur, sudut yang berhadapan memiliki jumlah 180 derajat.
<PSR = 180 - <PQR
<PSR = 180 – 70
<PSR = 110
Jawaban yang tepat C.

7.    Keliling bangun di bawah ini adalah... dm

a.    9
b.    11
c.    14,5
d.    18
Pembahasan:
K = ½ keliling lingkaran + diameter
K = ½ x π x d + d
K = ½ x 22/7 x 3,5 + 3,5
K = 5,5 + 3,5
K = 9
Jawaban yang tepat A.

8.    Keliling bangun di bawah ini adalah... satuan panjang.

a.    2a(3π + 1)
b.    2a(2π + 1)
c.    a(4π + 1)
d.    4a(π + 1)
Pembahasan:
Jari-jari lingkaran besar (R) = 2a
Jari-jari lingkaran kecil (r) = a
K = ½ lingkaran besar + lingkaran kecil + diameter lingkaran kecil
K = ½ x 2 x π x R + 2 x π x r + 2a
K = π x 2a + 2 x π x a + 2a
K = 2 πa + 2 πa + 2a
K = 4 πa + 2a
K = 2a (2 π + 1)
Jawaban yang tepat B.

9.    Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 105 m. Jika setiap jarak 5,5 m pada pinggir taman ditanami pohon cemara, banyak pohon cemara yang diperlukan adalah...
a.    60 buah
b.    50 buah
c.    40 buah
d.    33 buah
Pembahasan:
Diameter (d) = 105 m
Jarak antar pohon 5,5 m
Keliling = π x d
               = 22/7 x 105
               = 330 m
Banyak pohon = keliling : jarak antar pohon
                         = 330 : 5,5
                         = 60 buah
Jawaban yang tepat A.

10.    Roda sepeda berjari-jari 35 cm dan berputar sebanyak 2.000 kali. Panjang lintasan yang dilalui sepeda tersebut adalah... (π = 22/7)
a.    0,7 km
b.    4,4 km
c.    44 km
d.    70 km
Pembahasan:
Jari-jari (r) = 35 cm
Banyak putaran (n) = 2.000 kali
Panjang lintasan = keliling x n
                            = 2 x π x r x n
                            = 2 x 22/7 x 35 x 2.000
                            = 220 x 2.000
                            = 440.000 cm
                            = 4,4 km
Jawaban yang tepat B.

11.    Jika K merupakan keliling lingkaran dan L merupakan luas lingkaran, hubungan K dan L yang benar adalah...
a.    L = 2 π K2
b.    K = 2 π L2
c.    L = √(2 π K)
d.    K = √(4 π L)
Pembahasan:
Keliling lingkaran = K
Luas lingkaran = L

Jawaban yang tepat D.

12.    Sebuah lingkaran berdiameter 28 cm. Luas lingkaran tersebut adalah... (π = 22/7)
a.    176 cm2
b.    308 cm2
c.    352 cm2
d.    616 cm2
Pembahasan:
Diameter (d) = 28 cm, r = 14 cm
Luas = π r2
Luas = 22/7 x 14 x 14
         = 44 x 14
         = 616
Jawaban yang tepat D.

13.    Dua bangun lingkaran berjari-jari 11 cm dan 3 cm. Selisih luasnya adalah... cm2 (π = 22/7)
a.    352
b.    176
c.    154
d.    77
Pembahasan:
Jari-jari 1 (r1) = 11 cm
Jari-jari 2 (r2) = 3 cm
Selisih luas = L1 – L2
                    = π r12 - π r22
                    = π x 11 x 11 – π x 3 x 3
                    = 121 π - 9 π
                    = 112 π
                    = 112 x 22/7
                    = 352
Jawaban yang tepat A.

14.    Sisi-sisi segitiga siku-siku 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah... cm
a.    0,5
b.    1
c.    1,25
d.    1,5
Pembahasan:
a = 3 cm
b = 4 cm
c = 5 cm
sebelum mencari jari-jari, kita cari dulu s.
S = ½ x keliling segitiga
S = ½ x (3 + 4 + 5)
S = ½ x 12
S = 6

Jari-jari (r) = luas segitiga : s
                    = 6 : 6
                    = 1
Jawaban yang tepat B.

15.    Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut!
1.    Buat lingkaran dengan titik O sebagai pusat dan melalui titik P, Q, dan R.
2.    Buat ketiga garis sumbu dari ketiga sisi segitiga PQR
3.    Lingkaran luar segitiga luar segitiga PQR terlukis
4.    Ketiga sumbu berpotongan di titik O
Urutan yang benar untuk melukis lingkaran luar segitiga adalah...
a.    1, 2, 3, 4
b.    1, 3, 2, 4
c.    2, 4, 1, 3
d.    2, 1, 3, 4
Pembahasan:
Berikut ini adalah langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga:
a.    Buat ketiga garis sumbu dari ketiga sisi segitiga PQR (poin 2)
b.    Ketiga garis sumbu berpotongan di titik O (poin 4)
c.    Buat lingkaran dengan titik O sebagai pusat dan melalui titik P, Q, dan R (poin 1)
d    Lingkaran luar segitiga PQR terlukis (poin 3)
Jadi, langkah yang benar adalah 2, 4, 1, 3
Jawaban yang tepat C.

16.    Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi 5 cm, 12 cm, dan 13 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah...
a.    5,5 cm
b.    6 cm
c.    6,5 cm
d.    7 cm
Pembahasan:
Segitiga siku-siku dengan panjang sisi:
a = 5 cm
b = 12 cm
c = 13 cm
Panjang jari-jari lingkaran luar (r) = ½ x sisi  miring
                                                         = ½ x 13
                                                         = 6,5
Jawaban yang tepat C.

17.    Perhatikan gambar!

Jika panjang busur BC = 35 cm. Panjang busur AB adalah...
a.    20 cm
b.    21 cm
c.    22 cm
d.    24 cm
Pembahasan:
Panjang busur BC = 35
<BOC = 70
<AOC = 40

Jawaban yang tepat A.

18.    Sebuah lingkaran berpusat di titik O memiliki panjang jari-jari 35 cm. Pada lingkaran tersebut terdapat titik A dan B yang membentuk sudut pusat AOB. Jika besar <AOB = 72 derajat, panjang busur AB adalah...
a.    40 cm
b.    44 cm
c.    48 cm
d.    50 cm
Pembahasan:
Jari-jari (r) = 35 cm
<AOB = 72

Jawaban yang tepat B.

19.    Jika panjang diameter sebuah lingkaran yang berpusat di O = 42 cm, dan besar sudut pusat POQ = 270 derajat, panjang busur PQ adalah...
a.    99 cm
b.    176 cm
c.    198 cm
d.    396 cm
Pembahasan:
Diameter (d) = 42 cm
<POQ = 270

Jawaban yang tepat A.

20.    Suatu busur panjangnya 44 cm. Jika besar sudut pusat busur 90 derajat, panjang jari-jari lingkaran adalah ... cm
a.    21
b.    22
c.    24
d.    28
Pembahasan:
Panjang busur = 44 cm
Sudut pusat busur = 90 derajat

jawaban yang tepat D.

21.    Suatu lingkaran mempunyai diameter 8,4 dm. Jika panjang busur pada lingkaran itu 11 dm, luas juringnya adalah... dm2
a.    22
b.    23
c.    23,1
d.    23,5
Pembahasan:
Diameter = 8,4 dm, r = 4,2 dm
Panjang busur = 11 dm

Jawaban yang tepat C.

22.    Pada gambar di bawah ini, sudut AOB pada daerah yang diarsir 60 derajat. Jika π = 22/7, jari-jari lingkaran = 21 cm, luas daerah yang diarsir adalah...

a.    44 cm2
b.    66 cm2
c.    123 cm2
d.    231 cm2
Pembahasan:
<AOB = 60 derajat
Jari-jari (r) = 21 cm
Luas daerah yang diarsir (luas juring AOB):

Jawaban yang tepat D.

23.    Perhatikan gambar berikut!

Besar sudut pusat AOB adalah 90 derajat dan jari-jarinya 14 cm. Luas daerah yang diarsir adalah...
a.    52 cm2
b.    56 cm2
c.    98 cm2
d.    154 cm2
Pembahasan:
<AOB = 90 derajat
Jari-jari (r) = 14 cm

Luas segitiga AOB = ½ x alas x tinggi
                                = ½ x 14 x 14 (alas dan tingginya adalah jari-jari)
                                = 98
Luas yang diarsir (luas tembereng) = luas juring AOB – luas segitiga AOB
                                                           = 154 – 98
                                                           = 56
Jawaban yang tepat B.

24.    Sembilan lingkaran kongruen terletak di dalam persegi seperti terlihat pada gambar. Jika keliling sebuah lingkaran 62,8 cm dengan π = 3,14, luas daerah yang diarsir adalah... cm2

a.    344
b.    364
c.    484
d.    688
e.    728
Pembahasan:
Keliling lingkaran = 62,8 cm
π = 3,14
langkah pertama, kita cari jari-jari dulu.
Keliling = π d
62,8 = 3,14 x d
d = 62,8 : 3,14
d = 20
r = 10
untuk mempermudah perhitungan, kita potong gambar di atas menjadi:
 
Panjang sisi persegi = r + 2r + r
                                   = 4r
                                   = 4 x 10
                                   = 40
Luas persegi = 40 x 40
                      = 1.600
Luas potongan-potongan lingkaran = luas (¼ x 4 + ½ x 4 + 1) lingkaran
                                                           = luas (1 + 2 + 1) lingkaran
                                                           = luas 4 lingkaran
                                                           = 4 x π x r x r
                                                           = 4 x 3,14 x 10 x 10
                                                           = 1.256
Luas arsiran = luas persegi – luas potongan lingkaran
                     = 1.600 – 1.256
                     = 344
Jawaban yang tepat A.

Contoh 1:Pada gambar di bawah ini, panjang jari-jari OA adalah 20 cm. Berapakah panjang busur AB jika π = 3,14?.

Penyelesaian:

Contoh 2:

Pada gambar berikut, luas juring AOB adalah 231 cm2 dan besar sudut AOB adalah 60°.

Hitunglah:

• panjang jari-jari lingkaran
• keliling lingkaran

Penyelesaian:

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa panjang jari-jari lingkaran dan keliling lingkaran berturut-turut adalah 21 cm dan 132 cm.

Contoh 3:

Pada gambar berikut ini, luas lingkaran adalah 48 cm2.

Berapakah luas juring AOB?

Penyelesaian:

Contoh Soal 1

Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:

Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

CD/AB = ∠COD / ∠AOB

CD /14 cm = 140°/35° 

CD = (140°/35°) x 14 cm

CD = 4  x 14 cm

CD = 56 cm

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2

Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.

Hitunglah

a. luas juring POQ;

b. jari-jari lingkaran;

c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:

a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini

Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ

50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°

50 cm2/ Luas POQ = 1,25

Luas POQ = 50 cm2/1,25

Luas POQ = 40 cm2

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ

πr2 /luas juring POQ = 360°/∠POQ

πr2/40 cm2 = 360°/60°

πr2/40 cm2 = 6

πr2 = 40 cm2 x 6

πr2 = 240 cm2

r2 = 240 cm2/(22/7)

r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB

luas lingkaran/50 cm2  = 360°/75°

luas lingkaran/50 cm2  = 4,8

luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2  

luas lingkaran = 240 cm2  

atau dengan menggunakan rumus πr2, maka:

πr2 = (22/7) x (8,74 cm)

πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2

πr2 = 240 cm2

Contoh Soal 3

Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30°;

b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:

a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°

panjang AB/125,6 cm = 1/12

panjang AB = 125,6 cm/12

panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:

luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

luas POQ /πr2= 45°/360°

luas POQ = (45°/360°) x πr2

luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2

luas POQ = 157 cm2

Contoh Soal 4

Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.

Penyelesaian:

keliling lingkaran tersebut adalah

K = 2πr

K = 2 x (22/7) x 28 cm

K = 176 cm

Luas lingkaran tersebut adalah

L = πr2

L = (22/7) x (28 cm)2

L = 2464 cm2

Sekarang cari sudut POQ

∠ POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran

∠ POQ /360° = 17,6cm/176 cm

∠ POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°

∠ POQ = 36°

luas juring  POQ/Luas Lingkaran = ∠ POQ/∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ/2464 cm2 = 36°/360°

luas juring  POQ = 0,1 x 2464 cm2

luas juring  POQ = 246,4 cm2

Contoh Soal 5

Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.

Penyelesaian:

a. Pada gambar (a) diketahui ∠AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, maka

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°

panjang AB/69,08 cm = 0,125

panjang AB = 69,08 cm x 0,125

panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO

keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm

keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka

luas juring  AOB /Luas Lingkaran = ∠ AOB /∠ 1 lingkaran

luas juring  AOB /πr2 = 45°/360°

luas juring  AOB = 0,125 x πr2

luas juring  AOB = 0,125 x 3,14 x (11 cm)2

luas juring  AOB = 47,49 cm2

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)

luas juring  COD /Luas Lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring  COD/πr2 = 45°/360°

luas juring  COD = 0,125 x πr2

luas juring  COD = 0,125 x 3,14 x (6 cm)2

luas juring  COD = 14,13 cm2

Luas ABCD = luas juring  AOB = 47,49 cm2 - luas juring  COD = 14,13 cm2

Luas ABCD = 47,49 cm2 - 14,13 cm2

Luas ABCD = 33,36 cm2

Contoh Soal 6

Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.

penyelesaian:

a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih dahulu cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:

luas juring AOB = ¼ luas lingkaran

luas juring AOB = ¼ x πr2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm )2

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2

luas juring AOB = 154 cm2

luas ΔAOB = ½ x alas x tinggi

luas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cm

luas ΔAOB = 98 cm2

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB

Luas tembereng = 154 cm2 – 98 cm2

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih dahulu cari luas juring COD dan luas ΔCOD:

luas juring COD/luas lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring COD/ πr2 = 60° /360°

luas juring COD = (60°/360°) x πr2

luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm )2

luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2

luas juring AOB = 102,67 cm2

Karena besar ∠ COD = 60o, maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,

s = ½ x keliling segitiga

s = ½ x (a + b + c)

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

s = 21 cm

luas ΔCOD = √(s(s-a)(s-a)(s-a)

luas ΔCOD = √(21 (21-14)(21-14)(21-14)

luas ΔCOD = √(21 x 7 x 7 x 7)

luas ΔCOD = √(21 x 343)

luas ΔCOD = √(7203)

luas ΔCOD = 84,87 cm2

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga COD

Luas tembereng = 102,67 cm2– 84,87 cm2

Luas tembereng = 17,80 cm2

Contoh Soal 7

Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar ∠ POQ = 45°. Hitunglah besar ∠ QOR.

Penyelesaian:

∠ QOR /∠ POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ

∠ QOR/45°= 75 cm/50 cm

∠ QOR/45°= 1,5

∠ QOR = 1,5 x 45°

∠ QOR = 67,5°

Contoh Soal 8

Pada gambar di bawah, besar ∠ POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.

Hitunglah

a. panjang busur besar PQ;

b. luas juring besar POQ.

Penyelesaian:

panjang PQ/keliling lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

panjang PQ /2πr = ∠POQ /360°

panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°

panjang PQ /125,6 cm = 0,2

panjang PQ = 125,6 cm x 0,2

panjang PQ = 25,12 cm

luas juring  POQ /Luas Lingkaran = ∠ PQ /∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ /πr2 = 72°/360°

luas juring  POQ = 0,2 x πr2

luas juring  POQ = 0,2 x 3,14 x (20 cm)2

luas juring  POQ = 251,2 cm2

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar!

P adalah titik pusat lingkaran dan luas juring PLM = 24 cm2. Luas juring PKN adalah ….

A. 27 cm2

B. 30 cm2

C. 32 cm2

D. 39 cm2

(Soal UN 2011/2012 kode A13)

Penyelesaian:

Dari soal di atas sudut yang akan dicari luas juringnya adalah sudut KPN = 60°, sedangkan sudut yang sudah diketahui luas juringnya adalah sudut LPM = 45°, cara penyelesaian yakni:

=> Membagi sudut luas juring akan dicari (sudut KPN) dengan sudut luas juring yang sudah diketahui (sudut LPM),

maka : 60°/45° = 4/3

=> Hasil pembagian tadi dikalikan dengan luas juring yang sudah diketahui (luas juring PLM),

maka: (4/3) x 24 cm2 = 32 cm2

Jadi, luas juring PKN adalah 32 cm2 (Jawaban C)

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar!

Titik O adalah pusat lingkaran dan luas juring OLM = 12 cm2. Luas juring OKL adalah ….

A. 14 cm2

B. 15 cm2

C. 16 cm2

D. 18 cm2

(Soal UN 2011/2012 kode A17)

Penyelesaian:

L. OKL = (80°/60°) x  12 cm2

L. OKL = (4/3) x  12 cm2

L. OKL = 4 x 4 cm2

L. OKL = 16 cm2 (Jawaban C)

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar!

Diketahui sudut AOB = 120°, sudut BOC = 150° dan luas juring OAB = 84 cm2. Luas juring BOC adalah ….

A. 110 cm2

B. 105 cm2

C. 100 cm2

D. 95 cm2

(Soal UN 2011/2012 kode B25)

Penyelesaian:

L. BOC = (150°/120°) x  84 cm2

L. BOC = (5/4) x  84 cm2

L. BOC = 5 x 21 cm2

L. BOC = 105 cm2 (Jawaban B)

Soal Latihan

Perhatikan gambar!

Diketahui O adalah titik pusat lingkaran dan luas juring OPQ = 24 cm2. Luas juring OQR adalah ….

A. 26 cm2

B. 30 cm2

C. 32 cm2

D. 36 cm2

Contoh Soal 1

Berdasarkan gambar di bawah, jika ∠BOC = 60°, hitunglah besar ∠BAC!

Penyelesaian:

∠BAC dan ∠BOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka:

∠BAC = 1/2 × BOC

∠BAC = 1/2 × 60° = 30°

Jadi, besar ∠BAC = 30°.

Contoh Soal 2
Berdasarkan gambar di bawah ini, jika ∠AOC = 72°, hitunglah besar ∠ABC!

Penyelesaian:

Perhatikan gambar tersebut. ∠ABC adalah sudut keliling yang menghadap busur AC yang besar, maka kita harus menghitung sudut refleks AOC.

Sudut refleks AOC = 360° – ∠AOC

Sudut refleks AOC = 360° – 72° = 288°

∠ABC dan sudut refleks AOC menghadap busur AC yang besar, maka:

∠ABC = 1/2 × sudut refleks AOC

∠ABC = 1/2 × 288°

∠ABC = 144°

Jadi, besar ∠ABC = 144°

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. titik pusat

b. jari-jari

c. diameter

d. busur

e. tali busur

f. tembereng

g. juring

h. apotema.

Jawab:

a. titik pusat = A

b. jari-jari = AF, AD, dan AE

c. diameter = DF

d. busur = garis lengkung CD, DE, EF, dan CF

e. tali busur = CF

f. tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur CF dan tali busur CF

g. juring = EAF dan DAE

h. apotema = garis AB

Contoh Soal 2

Sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 cm memiliki panjang tali busur 8 cm. Tentukan panjang garis apotema pada lingkaran tersebut.

Jawab:

Jika kita gambarkan akan seperti gambar berikut ini

Dari gambar di atas maka OB = OA = jari-jari lingkaran = 5 cm dan AB = tali busur = 8 cm.

Perhatikan segitiga ODB. Panjang BD = 4 cm dan OB = 5 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OD2 = OB2 – BD2

Maka

OD = √(OB2 – BD2)

OD = √(52 – 42)

OD = √(25 – 16)

OD = √9

OD = 3 cm

Jadi, panjang garis apotema pada lingkaran tersebut adalah 3 cm

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar lingkaran O berikut.

Jika panjang jari-jari lingkaran tersebut 13 cm dan panjang tali busur AB adalah 24 cm, tentukanlah panjang:

a. diameter lingkaran,

b. garis apotema OD,

c. garis CD

Jawab:

a . d = 2r = 2. 13 cm = 26 cm

b. Perhatikan segitiga ODB. Panjang BD = 12 cm dan OB = 13 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OD2 = OB2 – BD2

Maka

OD = √(OB2 – BD2)

OD = √(132 – 122)

OD = √(169 – 144)

OD = √25

OD = 5 cm

c. CD = r – OD = 13 cm – 5 cm = 8 cm

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. titik pusat,

b. jari-jari,

c. diameter,

d. busur,

e. tali busur,

f. tembereng,

g. juring,

h. apotema.

Jawab:

a. Titik pusat = titik O

b. Jari-jari = garis PU, PQ, dan PR

c. Diameter = garis RU

d. Busur = garis lengkung QR, RS, ST, TU, dan UQ

e. Tali busur = garis ST

f. Tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur ST dan tali busur ST

g. Juring = QPU, QPR, dan RPU

h. Apotema = garis PV

Contoh Soal 5
Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm dan panjang tali busurnya 16 cm, tentukan:

a. diameter lingkaran,

b. panjang garis apotema.

 Jawab:

a. Diamaeter merupakan dua kali jari-jari lingkaran:

Diameter (d) = 2 × jari-jari

Diameter (d) = 2 × (10 cm)

Diameter (d) = 20 cm

Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 20 cm.

b. Perhatikan segitiga OQR. Panjang OQ = 10 cm dan QR = 8 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OR2 = OQ2 – QR2

OR2= (10)2 - (8)2

OR2= 1002 - 642

OR2 = 36 cm2

OR = √36 cm2

OR = 6 cm

Jadi, panjang garis apotema lingkaran tersebut adalah 6 cm

Contoh Soal 1

Soal ini dari buku BSE, Ibu membuat Pizza dengan ukuran berbeda. Ukuran besar berdiameter 16 cm, ukuran sedang berdiameter  12 cm dan ukuran kecil berdiameter 8 cm. Bahan kue mana yang lebih banyak diperlukan untuk membuat 1 Pizza ukuran besar ataukah 2 Pizza ukuran sedang?

Jawab:

Kita hitung terlebih dahulu luas Pizza ukuran besar dengan menggunakan rumus luas lingkaran, yakni:

L = ¼πd2

L = ¼(3,14)(16 cm)2

L = 200,96 cm2

Sekarang hitung dua kali luas Pizza ukuran sedang dengan menggunakan rumus luas lingkaran yang sama, yakni:

L = 2(¼πd2)

L = ½πd2

L = ½(3,14)(12 cm)2

L = 226,08 cm2

Jadi, membuat 2 Pizza ukuran sedang memerlukan bahan kue yang lebih banyak dibandingkan dengan membuat 1 Pizza ukuran besar.

Contoh Soal 2

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 5 m dan lebar 3 m. Di dalam taman tersebut terdapat sebuah kolam berbentuk seperempat lingkaran dengan panjang diameter 3 m. Taman tersebut akan ditanami rumput kecuali kolamnya. Jika biaya penanaman rumput tersebut adalah Rp 35.000 untuk tiap 1 m2, hitunglah biaya penanaman rumput tersebut!

Jawab:

Kita hitung terlebih dahulu luas taman tersebut dengan menggunakan rumus luas persegi panjang yakni:

L = p x l

L = 5 m x 3 cm

L = 15 m2

Sekarang kita hitung luas seperempat lingkaran dengan menggunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = ¼(¼πd2)

L = πd2/16

L = 3,14(3 m)2/16

L = 1,76625 m2

Sekarang kita hitung luas tanaman rumputnya dengan cara mengurangi luas taman yang berbentuk persegi panjang dengan luas seperempat lingkarang, yakni:

L = 15 m2 - 1,76625 m2

L = 13,23375 m2

Sekarang kita hitung berapa biaya yang diperlukan untuk menanam rumput tersebut jika biaya penanaman rumput tersebut adalah Rp 35.000 untuk tiap 1 m2

Biaya = 13,23375 m2 x Rp 35.000/m2

Biaya = Rp. 463.181,25

Jadi, penanaman rumput tersebut adalah Rp. 463.181,25

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar di bawah ini!

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di atas!

Jawab:

Jika kita amati dengan cermat maka luas setengah lingkaran yang di bawah sama besarnya dengan luas lingkaran yang di atasnya. Jadi kita cukup mencari luas setengah lingkaran yang di bawahnya. Jika kita amati lagi dengan cermat ada 3 lingkaran yaitu lingkaran besar dengan jari-jari 28 cm, lingkaran sedang dengan jari-jari 21 cm dan lingkaran kecil dengan jari-jari 7 cm.

Kita hitung luas setengah lingkaran yang besar (L1) yaitu:

L1 = ½πr2

L1 = ½(22/7)(28 cm)2

L1 = 1232 cm2

Kita hitung luas setengah lingkaran yang sedang (L2) yaitu:

L2 = ½πr2

L2 = ½(22/7)(21 cm)2

L2 = 693 cm2

Kita hitung luas setengah lingkaran yang kecil (L3) yaitu:

L3 = ½πr2

L3 = ½(22/7)(7 cm)2

L3 = 77 cm2

Sekarang kita hitung luas yang diarsir yaitu dua kali luas setengah lingkaran yang diarsir di bawah.

L = 2(L1 – L2 + L3)

L = 2(1232 cm2 – 693 cm2 + 77 cm2)

L = 1232 cm2

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang jari-jari lingkaran tersbut 7 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Cara lama (konsep dasar)

Luas lingkaran:

L = πr2

L = (22/7) . (7 cm)2

L = 154 cm2

Luas Juring AOB:

Luas juring/Luas lingkaran = sudut pusat/360°

Luas juring/154 cm2 = 90°/360°

Luas juring/154 cm2 = ¼

Luas juring = ¼ . 154 cm2

Luas juring = 38,5 cm2

luas ∆AOB

L = ½ . alas . tinggi

L = ½ . 7 cm . 7 cm

L = 24,5 cm2

Luas tembereng AB:

Luas tembereng = Luas juring – luas segitiga

Luas tembereng = 38,5 cm2– 24,5 cm2

Luas tembereng = 14 cm2

Jadi, luas tembereng AB adalah 14 cm2

Cara Cepat

Rumus:

Luas tembereng = (2/7)r2

Maka:

Luas tembereng = (2/7) . 7 cm .7 cm 

Luas tembereng = 14 cm2

Jadi, luas tembereng AB adalah 14 cm2

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita ambil satu helai daun sehingga panjang sisinya menjadi 7 cm. Untuk memudakan menjawab luas arsiran (luas helai daun) tersebut dapat gambarkan menjadi lingkaran yang jari-jarinya 7 cm, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:

L = 8 . 14 cm2

L = 112 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 112 cm2

Soal Tantangan

Perhatikan gambar di bawah ini

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir dan apakah hasilnya sama seperti contoh soal 2?