Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh Soal Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

1. f(x) = 4x² + 3x + 8. Hitunglah nilai a + 2b + 3c!

Jawaban:

Diketahui nilai a = 4, b = 3, c = 8
= a + 2b + 3c
= 4 + 2(3) + 3(8)
= 4 + 6 + 24
= 34

2. f(x) = 3x² - 2x + 5 memiliki bentuk sesuai dengan bentuk f(x) = ax² + bx + c. Hitunglah nilai 2a + 3b + 4c!

Jawaban:

= Diketahui nilai a = 3, b = -2, c = 5
= 2a + 3b + 4c
= 2(3) + 3(-2) + (4 x 5)
= 6 - 6 + 20
= 20

3. Diketahui fungsi f(x) = x² + 4x + 5. Hitunglah bayangangan untuk nilai x = 3

Jawaban:
= f(x) = x² + 4x + 5
= f(3) = 3² + 4(3) + 5
= f(3) = 9 + 12 + 5
= f(3) = 26

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal 1

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:
x2 + 4x – 21 = 0
(x1 + 7) (x2 – 3) = 0
x1 = -7 dam x2 = 3
Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)
Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)
f(x) = x2 + 4x – 21
f(0) = 02 + 4 . 0 – 21 = -21
Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)
Menentukan titik balik (xp , yp) dengan rumus dibawah ini:
xp =

-b

-4

2 . 1

= – 2.
yp =

– D

4 . a

– (b2 – 4 . a . c)

4 . a

yp =

– (42 – 4 . 1 . -21)

4 . 1

= – 25.
Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

y = x2 + 9x + 20
y = 2x2 – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

y = 3x2 – 4x – 2
y = 4x2 – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

a = 3 dan D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
a = 1 dan D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal 1

Persamaan sumbu simetri dari f(x) = 6 – 5x – x2 adalah …
A. x = -2
B. x = 2
C. x = -2 $\frac {1} {2}$
D. x = 3
E. x = 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

a = -1
b = -5
c = 6

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = –

-5

2 . -1

= -2

Soal ini jawabannya C.

Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = x2 + 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –

→ a = –

2 . 1

= -2

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Nilai m agar grafik fungsi y = (m – 1)x2 – 2mx + (m – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …
A. m = 1
B. m > 1
C. m < 1
D. m > 3/4
E. m < 3/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

a = m – 1
b = -2m
c = m – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

a < 0
m – 1 < 0
m < 1
D < 0
b2 – 4ac < 0
(-2m)2 – 4 (m – 1) (m – 3) < 0
4m2 – 4 (m2 – 4m + 3) < 0
4m2 – 4m2 + 16m – 12 < 0
16m – 12 < 0
16m < 12
m < $\frac {12} {16}$
m < 3/4

Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Jadi nilai m < 3/4. Soal ini jawabannya E.

Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x2 – 6x + 8 adalah …
A. (3, -1)
B. (-3, -1)
C. (4, 2)
D. (6, 8)
E. (-6, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

a = 1
b = -6
c = 8

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –

-6

2 . 1

= 3
→ y = –

→ y = –

b2 – 4ac

→ y = –

(-6)2 – 4 . 1 . 8

4 . 1

→ y = –

36 – 32

= -1

Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.

Contoh soal 5

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 2x – 3 adalah …
A. (1, 4)
B. (-1, 4)
C. (4, 1)
D. (1, -4)
E. (-1, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = –

-2

2 . 1

= 1
→ y = –

→ y = –

b2 – 4ac

→ y = –

(-2)2 – 4 . 1 . -3

4 . 1

→ y = –

4 + 12

= -4

Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 6

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat — Contoh soal 6 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

x1 = -5
x2 = -3
y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

y = a (x – x1) (x – x2)
y = a (x – (-5)) (x – (-3))
y = a (x + 5) (x + 3)
y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
15 = a . 15
a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

y = 1 (x2 + 8x + 15)
y = x2 + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

Contoh soal 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2x2 + 2x – 4
B. y = 2x2 – 2x – 4
C. y = x2 + x – 4
D. y = x2 – 2x – 4
E. y = x2 – x – 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

x1 = -1
x2 = 2
y = -4

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

y = a (x – (-1)) (x – 2)
y = a (x + 1) (x – 2)
y = a (x2 – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

-4 = a (02 – 0 – 2)
-4 = a . -2
a = -4/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

y = 2 (x2 – x – 2)
y = 2x2 – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…
A. a < 0, b < 0, dan c < 0
B. a < 0, b > 0 dan c > 0
C. a < 0, b > 0 dan c < 0
D. a > 0, b < 0 dan c > 0
E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

y = a (x – (-3)) (x – (-1))
y = a (x + 3) (x + 1)
y = a (x2 + 4x + 3)
-3 = a (02 + 4 . 0 + 3)
-3 = a . 3
a = -3/3 = -1
y = -1 (x2 + 4x + 3)
y = -x2 – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.

Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

titik balik xp = 9/2
titik balik yp = -49/4
y = 8

xp =

-b

2 . a

Sehingga kita dapat a =

= 1 dan b = -9.
yp =

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

-49

b2 – 4 . a . c = 49
92 – 4 . 1 . c = 49
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c =

= 8
Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2 + bx + c
y = xp – 9x + c
Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp – 9x + 8 = 0
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 10

Diketahui f(x) = x2 + 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …
A. -17
B. -9
C. -5
D. -2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = –

b2 – 4ac

→ y = –

42 – 4. 1 . -5

4. 1

= -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = x2 + 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

-9 = x2 + 4x – 5
0 = x2 + 4x – 5 + 9
x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0
x = -2

Subtitusi x = -2 ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

f(x) = x2 + 4x – 5
f(-2) = (-2)2 + 4 . (-2) – 5
f(-2) = 4 – 8 – 5 = -9

Jadi soal ini jawabannya B.

Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 15 adalah …
A. -32
B. -16
C. 1
D. 16
E. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = –

b2 – 4ac

→ y = –

22 – 4. -1 . 15

4. -1

→ y =

= 16

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi maksimum peluru adalah …
A. 925 m
B. 1.015 m
C. 1.025 m
D. 1.125 m
E. 1.225 m

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = –

b2 – 4ac

→ y = –

(150)2 – 4. -1 . 0

4. -5

→ y =

22500

= 1.125 m

Soal ini jawabannya D.

Contoh soal 13

Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72
B. 144
C. 360
D. 1.296
E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

x + y = 72
y = 72 – x
x . y = x (72 – x) = 72x – x2
K = -x2 + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

K =

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

K =

-(722 – 4 . -1 . 0)

4 . -1

5184

= 1296

Jadi soal ini jawabannya D.

Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…
A. 15 dan -15
B. 20 dan -10
C. 25 dan -5
D. 40 dan 10
E. 50 dan 20

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

x – y = 30
y = x – 30
K = x . y = x . (x – 30) = x2 – 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

K =

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

K =

-(-302 – 4 . 1 . 0)

4 . 1

-900

= – 225

K = -225 dan K = x2 – 30x maka kita dapat:

x2 – 30 x = -225
x2 – 30x + 225 = 0
(x – 15)2 = 0
x = 15

Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -15. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.

Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…
A. 64 cm dan 1 cm
B. 32 cm dan 2 cm
C. 32 cm dan 4 cm
D. 16 cm dan 16 cm
E. 16 cm dan 8 cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

2 (P + L) = 64
P + L = 32
P = 32 – L
Luas = P . L = (32 – L) . L = 32 L – L2
Luas = L2 – 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas =

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

Luas =

-(-322 – 4 . 1 . 0)

4 . 1

1024

= – 256

Luas = -256 dan Luas = L2 – 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

L2 – 32L = – 256
L2 – 32L + 256 = 0
(L – 16)2 = 0
L = 16

L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – L = 32 – 16 = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + 2x – 3

Jawab:

f(x) = x² + 2x – 3 memiliki a = 1; b = 2; c = -3

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = x² + 2x – 3

x² + 2x – 3 = 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? Kalau lupa silahkan di refresh ingatan kalian disini.

jadi faktornya: (x + 3) (x – 1) = 0

a) titik 1:

x + 3 = 0

x = -3 karena y nya 0, maka titiknya (-3, 0) ..... titik (A)

b) titik 2

x – 1 = 0

x = 1 karena y nya 0, maka titiknya (1, 0) ..... titik (B)

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = x² + 2x – 3

y = x² + 2x – 3

y = (0)² + 2(0) – 3

y = -3 karena x = 0, maka titiknya (0, -3) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola

X = -1 maka y bernilai:

f(x) = x² + 2x – 3

y = x² + 2x – 3

y = (-1)² + 2(-1) – 3

y = 1 – 2 – 3

y = -4 maka titiknya adalah (-1, -4) .... titik (D)

Langkah keempat: Tentukan persamaan sumbu simetri.

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

2. Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + 2x + 1

Jawab:

f(x) = x² + 2x + 1 memiliki a = 1; b = 2; c = 1

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = x² + 2x + 1

x² + 2x + 1 = 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? Kalau lupa silahkan di refresh ingatan kalian disini.

jadi faktornya: (x + 1) (x + 1) = 0

a) titik 1:

x + 1 = 0

x = -1 karena y nya 0, maka titiknya (-1, 0) ..... titik (A)

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = x² + 2x + 1

y = x² + 2x + 1

y = (0)² + 2(0) + 1

y = 1 karena x = 0, maka titiknya (0, 1) .... titik (B)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola

X = -1 maka y bernilai:

f(x) = x² + 2x + 1

y = x² + 2x + 1

y = (-1)² + 2(-1) + 1

y = 1 – 2 + 1

y = 0 maka titiknya adalah (-1, 0) .... titik (C)

Langkah keempat: Tentukan persamaan sumbu simetri.

X = -1

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

3. Gambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = 2x² + x – 10

jawab:

f(x) = 2x² + x – 10 memiliki a = 2; b = 1; c = -10

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = 2x² + x – 10

2x² + x – 10 = 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan? Kalau lupa silahkan di refresh ingatan kalian disini.

jadi faktornya: (2x + 5) (x – 2) = 0

a) titik 1:

2x + 5 = 0

2x = -5

x = -5/2 = -2,5 karena y nya 0, maka titiknya (-2,5, 0) ..... titik (A)

b) titik 2

x – 2 = 0

x = 2 karena y nya 0, maka titiknya (2, 0) ..... titik (B)

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = 2x² + x – 10

y = 2x² + x – 10

y = 2(0)² + 0 – 10

y = -10 karena x = 0, maka titiknya (0, -10) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola

X = -1/4 maka y bernilai:

f(x) = 2x² + x – 10

y = 2x² + x – 10

maka titiknya adalah

.... titik (D)

Langkah keempat: Tentukan persamaan sumbu simetri.

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

4. Gambarkanlah sketsa grafik f(x) = -x² + 4x + 12

Jawab:

f(x) = -x² + 4x + 12 memiliki a = -1; b = 4; c = 12

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = -x² + 4x + 12

-x² + 4x + 12= 0

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan?

jadi faktornya: (-x + 6) (x + 2) = 0

a) titik 1:

-x + 6 = 0

x = 6 karena y nya 0, maka titiknya (6, 0) ..... titik (A)

b) titik 2

x + 2 = 0

x = -2 karena y nya 0, maka titiknya (-2, 0) ..... titik (B)

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = -x² + 4x + 12

y =-x² + 4x + 12

y = -(0)² + 4(0) + 12

y = 12 karena x = 0, maka titiknya (0, 12) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola

X = 2 maka y bernilai:

f(x) = -x² + 4x + 12

y = -x² + 4x + 12

y = -(2)² + 4(2) + 12

y = -4 + 8 + 12

y = 16 maka titiknya adalah (2, 16) .... titik (D)

Langkah keempat: Tentukan persamaan sumbu simetri.

X = 2

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

5. Gambarkanlah grafik f(x) = -x² - x + 2

Jawab:

f(x) = -x² - x + 2 memiliki a = -1; b = -1; c = 2

kita ikuti langkah-langkah di atas ya:

Langkah pertama: Tentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)

f(x) = -x² - x + 2

-x² - x + 2

Selanjutnya kita faktorkan, masih ingat pemfaktoran kan?

jadi faktornya: (x + 2) (-x + 1) = 0

a) titik 1:

x + 2 = 0

x = -2 karena y nya 0, maka titiknya (-2, 0) ..... titik (A)

b) titik 2

-x + 1 = 0

x = 1 karena y nya 0, maka titiknya (1, 0) ..... titik (B)

Langkah kedua: Tentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)

f(x) = -x² - x + 2

y = -x² - x + 2

y = -(0)² - 0 + 2

y = 2 karena x = 0, maka titiknya (0, 2) .... titik (C)

Langkah ketiga: Tentukan titik balik atau titik puncak parabola

X = -1/2 maka y bernilai:

f(x) = -x² - x + 2

y = -x² - x + 2

maka titiknya adalah (-1/2, 2 1/4) .... titik (D)

Langkah keempat: Tentukan persamaan sumbu simetri.

X = -1/2

Sekarang, kita gambar titik (A) – (D) (yang berwarna merah) pada bidang cartesius.

1. Jika titik puncak dari grafik y = x2 + px + q adalah (2, 3), tentukan nilai p + q.

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus titik puncak koordinat x, maka:

–b/2a = 2

–p/2×1 = 2

p = 2 × 2 × (-1)

p = -4

Dengan mensubstitusikan titik puncak (2, 3) dan nilai p ke persamaan y = x2 + px + q diperoleh:

3 = 22 + -4(2) + q

3 = 4 – 8 + q

q = 1

Maka

p + q = -4 + 1 = -3

Jadi, nilai p + q adalah -3.

2. Jika fungsi y = ax2 + 8x + (a+2) mempunyai sumbu simetri x = 2, carilah koordinat titik puncaknya.

Pembahasan

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

–b/2a = 2

–8/2a = 2

a = -2

Dengan mensubstitusikan nilai a ke fungsi y, diperoleh:

y = ax2 + 8x + (a+2)

y = -2x2 + 8x

Maka kita dapat menentukan koordinat titik puncak y, yaitu

-(b2 – 4ac) / 4a = -(82 – 4(-2)(0)) / 4(-2)

-(b2 – 4ac) / 4a = – 64 / -8

-(b2 – 4ac) / 4a = 8

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (2, 8).

3. Carilah fungsi kuadrat dari grafik yang melintasi (-2, 5) jika titik minimumnya sama dengan titik puncak grafik y = x2 + 6x + 2.

Pembahasan

Titik puncak y = x2 + 6x + 2 adalah:

xp = –b/2a

xp = – 6/2(1)

xp = -3

yp = -(b2 – 4ac) / 4a

yp = -(62 – 4(1)(2)) / 4(1)

yp = -(36 – 8) / 4

yp = -28 / 4

yp = -7

Substitusikan titik puncak (-2, 5) dan (xp, yp) ke y = a(x – xp)2 + yp, maka

y = a(x – xp)2 + yp

5 = a((-2) – (-3))2 + (-7)

5 = a(-2 + 3)2 – 7

5 = a(1)2 – 7

5 = a – 7

a = 12

Substitusikan nilai a dan titik puncak (xp, yp) ke y = a(x – xp)2 + yp, maka

y = a(x – xp)2 + yp

y = 12(x – (-3))2 + (-7)

y = 12(x + 3))2 – 7

y = 12(x + 6x + 9) – 7

y = 12x + 72x + 108 – 7

y = 12x + 72x + 101

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = 12x + 72x + 101.

4. Suatu fungsi kuadrat y = x2 + 2px + p – 1 memiliki titik puncak (q, q). Tentukan nilai p – q !

Pembahasan

–b/2a = q

–2p/2(1) = q

p = -q

Substitusikan (q, q) dan p = -q ke y = x2 + 2px + p – 1, maka

y = x2 + 2px + p – 1

q = q2 + 2(-q)q + (-q) – 1

0 = q2 – 2q2 -q – 1 – q

0 = -q2 -2q – 1

q2 + 2q + 1 = 0

(q + 1)2 = 0

q = -1

p = -q = -(-1) = 1

Sehingga diperoleh

p – q = 1 – (1) = 2

Jadi, nilai p – q adalah 2.

5. Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax2 – 4x + c mempunyai titik puncak di (1, 3). Tentukan nilai f(4) !

Pembahasan

Pertama, substitusikan koordinat x puncak ke rumus mencari koordinat x puncak.

–b/2a = 1

–(-4)/2a = 1

a = 2

Dengan mensubstitusikan nilai a dan koordinat puncak (1, 3) ke f(x), maka

f(x) = ax2 – 4x + c

3 = 2(1)2 – 4(1) + c

3 = 2 – 4 + c

3 = -2 + c

c = 5

Untuk menemukan nilai f(4), substitusikan x = 4 dan niilai a dan c ke f(x), sehingga diperoleh

f(x) = ax2 – 4x + c

f(4) = 2(4)2 – 4(4) + 5

f(4) = 32 – 16 + 5

f(4) = 21

Jadi, nilai f(4) adalah 21.

imajiner
kompleks
nyata, rasional dan sama
nyata dan rasional
nyata, rasional dan berlainan.

PEMBAHASAN :

NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda

D < 0, memiliki akar-akar imajiner

D = 0, memiliki akar-akar riil dan kembar

D = b2 – 4ac

= (-3)2 – 4.5.1

= 9 – 20

= -11

JAWABAN : A

x = 3/2
x = 3/2
x = 5/2
x = 5/2
x = 3

PEMBAHASAN :

Karena sumbu simetri parabola pasti dilewati oleh titik puncak parabola, maka kita bisa peroleh dengan y’ = 0

Y’ = 2x – 5

0 = 2x – 5

x = 5/2

jadi sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 adalah x = 5/2

JAWABAN : D

y = -1/8(x – 2)2 + 3
y = -1/8(x – 2)2 – 3
y = 1/8(x + 2)2 – 3
y = 1/8(x + 2)2 + 3
y = 1/8(x – 2)2 + 3

PEMBAHASAN :

f(x) = ax2 + bx + c

f'(x) = 2ax + b

0 = 2a.2 + b

0 = 4a + b

-b = 4a … (i)

nilai fungsi pada titik puncak

f(2) = a(2)2 + b.2 + c

3 = 4a + 2b + c

3 = -b + 2b + c

3 = b + c … (ii)

f(-2) = a(-2)2 + b(-2) + c

1 = 4a – 2b + c

1 = -b – 2b + c

1 = -3b + c … (iii)

eliminasi persamaan (ii) dan (iii)

b + c = 3

-3b + c = 1 –

4b = 2

b = 1/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (ii)

1/2 + c = 3

c = 5/2

substitusi b = 1/2 ke persamaan (i)

-1/2 = 4a

a = -1/8

f(x) = (-1/8)x2 + 1/2 x + 5/2

= (-1/8)x2 + 4/8 x + 5/2

= -1/8(x2 – 4x) + 5/2

= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 5/2

= -1/8(x – 2)2 + 4/8 + 20/8

= -1/8(x – 2)2 + 3

JAWABAN : A

PEMBAHASAN :

x1 + x2 = -4

3x2 + x2 = -4

4x2 = -4

x2 = -1

x1 + (-1) = -4

x1 = -3

PK : x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

x2 – (-3 – 1)x + (-3)(-1) = 0

x2 + 4x + 3 = 0

a – 4 = 3

a = 7

JAWABAN : D

x2 – 2x = 0
x2 – 2x + 30 = 0
x2 + x = 0
x2 + x – 30 = 0
x2 + x + 30 = 0

PEMBAHASAN :

akar – akarnya :

x1 – 3 = y x1 = y + 3

x2 – 3 = y x2 = y + 3

substitusi nilai “x1” atau “x2” kepersamaan kuadrat dalam soal, sehingga menjadi :

x2 – 5x + 6 = 0

PK Baru : (y + 3)2 – 5(y + 3) + 6 = 0

y2 + 6y + 9 – 5y – 15 + 6 = 0

y2 + y = 0

JAWABAN : C

PEMBAHASAN :

p – l = 4

p x l = 192

(4 + l) x l = 192

4l + l2 = 192

l2 + 4l – 192 = 0

(l – 12)(l + 16) = 0

l = 12 atau l = -16 (tidak memenuhi)

p = 4 + l = 4 + 12 = 16

Untuk menentukan luas jalan, kita partisi-partisi menjadi 8 yaitu :

4 luas jalan yang berada di pojok-pojok kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi 2cm : 4 x 22 = 16cm2

2 luas jalan yang berada pada panjang kebun dengan panjang sisi 12cm dan lebar 2cm : 2 x (12 x 2) = 48cm2

2 luas jalan yang berada pada lebar kebun dengan panjang sisi 8cm dan lebar 2cm : 2 x (8 x 2) = 32cm2

Jadi luas jalan yang dibangun adalah 16 + 48 + 32 = 96cm2

JAWABAN : A

-6 dan 2
-6 dan -2
-4 dan 4
-3 dan 5
-2 dan 6

PEMBAHASAN :

x12 + x22 = 4

(x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4

(-b/a)2 – 2(c/a) = 4

(-q/2)2 – 2((q – 1)/2) = 4

q2/4 – q + 1 = 4 (kalikan 4)

q2 – 4q + 4 = 16

q2 – 4q – 12 = 0

(q – 6)(q + 2) = 0

q = 6 atau q = -2

JAWABAN : E

-8
-5
2
5
8

PEMBAHASAN :

D = 121

b2 – 4ac = 121

(-9)2 – 4(2)(c) = 121

81 – 8c = 121

81 – 121 = 8c

-40 = 8c

-5 = c

JAWABAN : B

-2
-3/2
0
3/2
2

PEMBAHASAN :

Akar kembar jika D = 0

b2 – 4ac = 0

(8 – 2m)2 – 4(1 – m)(12) = 0

64 – 32m + 4m2 – 48 + 48m = 0

4m2 + 16m + 16 = 0

4(m2 + 4m + 4) = 0

(m + 2)(m + 2) = 0

m1,2 = -2

JAWABAN : A [Sudah Dikoreksi]

PEMBAHASAN :

misal : f(x) = ax2 + bx + c

substitusi x = 0 untuk nilai fungsi 16, sehingga :

f(0) = a(0)2 + b(0) + c

16 = c … (i)

Substitusi x = 3 untuk nilai minimum -2, sehingga :

f(3) = a(3)2 + b(3) + c

-2 = 9a + 3b + c … (ii)

f'(x) = 2ax + b

substitusi titik x = 3 (titik minimum) untuk f'(x) = 0, sehingga :

0 = 2a(3) + b

b = -6a … (iii)

substitusi (i) dan (iii) ke (ii), sehingga diperoleh :

-2 = 9a + 3b + c

-2 = 9a + 3(-6a) + 16

-2 = 9a – 18a + 16

-18 = -9a

2 = a

b = -12

f(x) = ax2 + bx + c

substitusi a = 2 , b = -12 dan c = 16

f(x) = 2x2 – 12x + 16

PEMBAHASAN :

Titik balik = titik minimum.

f(x) = px2 + ( p – 3 )x + 2

f'(x) = 2px + p – 3 = 0

substitusi x = p, sehingga diperoleh :

2p2 + p – 3 = 0

(2p + 3)(p – 1) = 0

p = -3/2 atau p = 1

MATEMATIKA