GAMBAR GRAFIK

1. Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:
x2 + 4x – 21 = 0
(x1 + 7) (x2 – 3) = 0
x1 = -7 dam x2 = 3
Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)
Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)
f(x) = x2 + 4x – 21
f(0) = 02 + 4 . 0 – 21 = -21
Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)
Menentukan titik balik (xp , yp) dengan rumus dibawah ini:
xp = 

-b

2a

 = 

-4

2 . 1

 = – 2.
yp = 

– D

4 . a

 = 

– (b2 – 4 . a . c)

4 . a

yp = 

– (42 – 4 . 1 . -21)

4 . 1

 = – 25.
Jadi titik balik (-2 ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

Grafik fungsi kuadrat nomor 1

---

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

1. y = x² + 9x + 20
2. y = 2x² – 3x + 1

Pembahasan / penyelesaian soal

1. a = 1 dan D = b² – 4ac = 9² – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
2. a = 2 dan D = b² – 4ac = -3² – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X. 

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

1. y = 3x² – 4x – 2
2. y = 4x² – 3x + 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

1. a = 3 dan D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
2. a = 1 dan D = b² – 4ac = (-3)² – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

---

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal 1

Persamaan sumbu simetri dari f(x) = 6 – 5x – x² adalah …
A. x = -2
B. x = 2
C. x = -2
D. x = 3
E. x = 5

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = -1
• b = -5
• c = 6

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = – 

b

2a

→ Pers. sumbu simetri = – 

-5

2 . -1

 = -2

1

2

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = x² + 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = – 

b

2a

→ a = – 

4

2 . 1

 = -2

Soal ini jawabannya B.

Contoh soal 3

Nilai m agar grafik fungsi y = (m – 1)x² – 2mx + (m – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …
A. m = 1
B. m > 1
C. m < 1
D. m > 3/4
E. m < 3/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = m – 1
• b = -2m
• c = m – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

• a < 0
• m – 1 < 0
• m < 1
• D < 0
• b² – 4ac < 0
• (-2m)² – 4 (m – 1) (m – 3) < 0
• 4m² – 4 (m² – 4m + 3) < 0
• 4m² – 4m2 + 16m – 12 < 0
• 16m – 12 < 0
• 16m < 12
• m < 
• m < 3/4

Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Irisan fungsi kuadrat

Jadi nilai m < 3/4. Soal ini jawabannya E.

---

Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x² – 6x + 8 adalah …
A. (3, -1)
B. (-3, -1)
C. (4, 2)
D. (6, 8)
E. (-6, 8)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = 1
• b = -6
• c = 8

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = – 

b

2a

→ x = – 

-6

2 . 1

 = 3
→ y = – 

D

4a

→ y = – 

b² – 4ac

4a

→ y = – 

(-6)² – 4 . 1 . 8

4 . 1

→ y = – 

36 – 32

4

 = -1

Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 5

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = x² – 2x – 3 adalah …
A. (1, 4)
B. (-1, 4)
C. (4, 1)
D. (1, -4)
E. (-1, -4)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = – 

b

2a

→ x = – 

-2

2 . 1

 = 1
→ y = – 

D

4a

→ y = – 

b² – 4ac

4a

→ y = – 

(-2)² – 4 . 1 . -3

4 . 1

→ y = – 

4 + 12

4

 = -4

Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 6

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Contoh soal 6 fungsi kuadrat

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x² – 2x + 15
B. y = x² – 2x – 15
C. y = x² + 2x + 15
D. y = x² – 8x – 15
E. y = x² – 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• x1 = -5
• x2 = -3
• y = 15

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

• y = a (x – x1) (x – x2)
• y = a (x – (-5)) (x – (-3))
• y = a (x + 5) (x + 3)
• y = a (x2 + 3x + 5 x + 15)
• y = a (x2 + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:

• 15 = a (02 + 8 . 0 + 15)
• 15 = a . 15
• a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

• y = 1 (x2 + 8x + 15)
• y = x2 + 8x + 15

Jadi soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 7

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2x² + 2x – 4
B. y = 2x² – 2x – 4
C. y = x² + x – 4
D. y = x² – 2x – 4
E. y = x² – x – 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

• x1 = -1
• x2 = 2
• y = -4

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

• y = a (x – (-1)) (x – 2)
• y = a (x + 1) (x – 2)
• y = a (x2 – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

• -4 = a (02 – 0 – 2)
• -4 = a . -2
• a = -4/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

• y = 2 (x2 – x – 2)
• y = 2x2 – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 8

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…
A. a < 0, b < 0, dan c < 0
B. a < 0, b > 0 dan c > 0
C. a < 0, b > 0 dan c < 0
D. a > 0, b < 0 dan c > 0
E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

• y = a (x – (-3)) (x – (-1))
• y = a (x + 3) (x + 1)
• y = a (x2 + 4x + 3)
• -3 = a (02 + 4 . 0 + 3)
• -3 = a . 3
• a = -3/3 = -1
• y = -1 (x2 + 4x + 3)
• y = -x2 – 4x – 3

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.

---

Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Contoh soal fungsi kuadrat nomor 9

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (8, 0)
C. (1, 0) dan (-8, 0)
D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• titik balik xp = 9/2
• titik balik yp = -49/4
• y = 8

xp = 

-b

2 . a

 = 

9

2

Sehingga kita dapat a = 

2

2

 = 1 dan b = -9.
yp = 

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

 = 

-49

4

b2 – 4 . a . c = 49
92 – 4 . 1 . c = 49
81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c = 

32

4

 = 8
Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2 + bx + c
y = xp – 9x + c
Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp – 9x + 8 = 0
(x1 – 8) (x2 – 1) = 0
x1 = 8 dan x2 = 1

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 10

Diketahui f(x) = x² + 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …
A. -17
B. -9
C. -5
D. -2
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = – 

D

4a

→ y = – 

b² – 4ac

4a

→ y = – 

4² – 4. 1 . -5

4. 1

 = -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = x² + 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

• -9 = x2 + 4x – 5
• 0 = x2 + 4x – 5 + 9
• x² + 4x + 4 = 0
• (x + 2)² = 0
• x = -2

Subtitusi x = -2 ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

• f(x) = x² + 4x – 5
• f(-2) = (-2)² + 4 . (-2) – 5
• f(-2) = 4 – 8 – 5 = -9

Jadi soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x² + 2x + 15 adalah …
A. -32
B. -16
C. 1
D. 16
E. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = – 

D

4a

→ y = – 

b² – 4ac

4a

→ y = – 

2² – 4. -1 . 15

4. -1

→ y = 

64

4

 = 16

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t². Tinggi maksimum peluru adalah …
A. 925 m
B. 1.015 m
C. 1.025 m
D. 1.125 m
E. 1.225 m

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = – 

D

4a

→ y = – 

b² – 4ac

4a

→ y = – 

(150)² – 4. -1 . 0

4. -5

→ y = 

22500

20

 = 1.125 m

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 13

Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72
B. 144
C. 360
D. 1.296
E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:

• x + y = 72
• y = 72 – x
• x . y = x (72 – x) = 72x – x2
• K = -x2 + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

K = 

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

K = 

-(722 – 4 . -1 . 0)

4 . -1

 = 

5184

4

 = 1296

Jadi soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…
A. 15 dan -15
B. 20 dan -10
C. 25 dan -5
D. 40 dan 10
E. 50 dan 20

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

• x – y = 30
• y = x – 30
• K = x . y = x . (x – 30) = x2 – 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

K = 

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

K = 

-(-302 – 4 . 1 . 0)

4 . 1

 = 

-900

4

 = – 225

K = -225 dan K = x2 – 30x maka kita dapat:

x2 – 30 x = -225
x2 – 30x + 225 = 0
(x – 15)2 = 0
x = 15

Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -15. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…
A. 64 cm dan 1 cm
B. 32 cm dan 2 cm
C. 32 cm dan 4 cm
D. 16 cm dan 16 cm
E. 16 cm dan 8 cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

• 2 (P + L) = 64
• P + L = 32
• P = 32 – L
• Luas = P . L = (32 – L) . L = 32 L – L2
• Luas = L2 – 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas = 

-(b2 – 4 . a . c)

4 . a

Luas = 

-(-322 – 4 . 1 . 0)

4 . 1

 = 

1024

4

 = – 256

Luas = -256 dan Luas = L2 – 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

• L2 – 32L = – 256
• L2 – 32L + 256 = 0
• (L – 16)2 = 0
• L = 16

L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – L = 32 – 16 = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.

Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2.

Jawab

Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2 adalah parabola dengan persamaan y = x2 – 3x + 2. Dari persamaan ini kita peroleh a = 1, b = –3 dan c = 2. Untuk melukiskan grafiknya, kita gunakan 3 langkah di atas.

Langkah 1, Menentukan titik potong dengan sumbu-X dan sumbu-Y

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0

x2 – 3x + 2 = 0

(x – 1)(x – 2) = 0

x1 = 1 atau x2 = 2

jadi titik potong dengan sumbu-X adalah di (1, 0) dan (2, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = x2 – 3x + 2

y = (0)2 – 3(0) + 2

y = 2

Jadi titik potong dengan sumbu-Y adalah di titik (0 , 2)

Langkah 2, Menentukan koordinat titik balik atau titik puncak

P	=	(	–b	,	b2 – 4ac	)
			2a		–4a

P	=	(	–(–3)	,	(–3)2 – 4(1)(2)	)
			2(1)		–4(1)

P

=

(1½, –¼)

Oleh karena a > 0, maka P merupakan titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. Koordinat titik balik minimum adalah di titik (1½, –¼).

Langkah 3, Menggambar grafik parabola di bidang Cartesius ½ ¼

Dari langkah 1 dan 2, kita peroleh koordinat titik-titik sebagai berikut.

•Koordinat titik potong dengan sumbu-X yaitu di (1, 0) dan (2, 0)

•Koordinat titik potong dengan sumbu-Y yaitu di (0 , 2)

•Koordinat titik balik yaitu di titik (1½, –¼).

Kemudian kita posisikan titik-titik tersebut pada koordinat Cartesius. Selanjutnya hubungkan titik-titik itu dengan garis hingga membentuk kurva parabola. Berikut ini adalah gambar grafik parabola fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2.

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

1. Titik potong sumbu-X

Titik potong sumbu-x diperoleh pada saat $y=0$.$$\left(x_1,0\right)dan\left(x_2,0\right)$$Dengan x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0

2. Titik potong sumbu-Y

Titik potong sumbu-y diperoleh pada saat $x=0$.
y = f(0) = a(0)² + b(0) + c = c  $$\left(0,c\right)$$

3. Persamaan sumbu simetri

Persamaan sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi 2 bagian yang simetris.$$x=\frac{-b}{2a}$$

4. Nilai ekstrim

Nilai ekstrim disebut juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Jika nilai ekstrim dinyatakan dengan y, maka :  $$y=\frac{-D}{4a}$$

5. Titik puncak

Titik puncak atau titik balik adalah titik dimana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum.$$P\left(\frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a}\right)$$

Catatan :

1. Jika D = 0, maka titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.
2. Jika D < 0, grafik tidak mempunyai titik potong sumbu-x.
3. Jika b = 0, maka titik potong sumbu-y dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.

Contoh 1
Sketsalah grafik fungsi kuadrat $f\left(x\right)=x^2-4x+3$

Jawab :
a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)
b = −4
c = 3

D = b² − 4ac
D = (−4)² − 4.1.3 = 4
D = 4
Karena D > 0, maka parabola memotong sumbu-x di dua titik.

Titik potong sumbu-x    ⇒ y = 0
x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 atau x = 3
⇒  (1, 0) dan (3, 0)

Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
(0, c) ⇒ (0, 3)

Persamaan sumbu simetri
x = $\frac{-b}{2a}$ = $\frac{-(-4)}{2.1}$ = 2
x = 2

Nilai ekstrim
y = $\frac{-D}{4a}$ = $\frac{-4}{4.1}$  = −1
y = −1

Titik puncak
$P\left(\frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a}\right)$ ⇒  (2, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Contoh 2
Gambarlah grafik fungsi kuadrat $f\left(x\right)=-x^2-4x-4$

Jawab :
a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah)
b = −4
c = −4

D = b² − 4ac
D = (−4)² − 4.(−1).(−4)
D = 0
Karena D = 0, maka parabola menyinggung sumbu-x, menyebabkan titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama.

Titik potong sumbu-x  ⇒  y = 0
−x² − 4x − 4 = 0
x² + 4x + 4 = 0
(x + 2)(x + 2) = 0
x = −2
⇒  (−2, 0)

Karena titik potong sumbu-x dan titik puncak sama, yaitu (−2, 0), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = −2
Nilai ekstrim : y = 0

Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
 (0, c) ⇒ (0, −4)

Karena untuk menggambar parabola minimal diperlukan tiga buah titik, untuk itu kita dapat menentukan titik-titik bantu disekitar sumbu simetri (x = −2).

Untuk x = −1
y = f(−1) = −(−1)² − 4(−1) − 4 = −1
⇒  (−1, −1)

Untuk x = −3
y = f(−3) = −(−3)² − 4(−3) − 4 = −1
⇒  (−3, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Contoh 3
Gambarlah grafik fungsi kuadrat $f\left(x\right)=x^2+1$

Jawab :
a = 1 > 0  (parabola terbuka ke atas)
b = 0  (titik potong sumbu-y = titik puncak)
c = 1

D = b² − 4ac
D = (0)² − 4.1.1\
D = −4
Karena D < 0 maka parabola tidak mempunyai titik potong sumbu-x.

Titik potong sumbu-y
(0, c) ⇒ (0, 1)

Karena titik potong sumbu-y dan titik puncak sama yaitu : (0, 1), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = 0
Nilai ekstrim : y = 1

Titik-titik bantu :

Untuk x = 1
y = f(1) = (1)² + 1 = 2
⇒  (1, 2)

Untuk x = 2
y = f(2) = (2)² + 1 = 5
⇒  (2, 5)

Untuk x = −1
y = f(−1) = (−1)² + 1 = 2
⇒  (−1, 2)

Untuk x = −2
y = f(−2) = (−2)² + 1 = 5
⇒  (−2, 5)

Catatan :
Dengan mencerminkan titik-titik (1, 2) dan (2, 5) ke sumbu simetri (x = 0), maka akan diperoleh titik-titik (−1, 2) dan (−2, 5). Jadi tidak harus dicari satu per satu seperti cara diatas.

Selanjutnya, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, maka akan terbentuk sebuah parabola sebagai berikut :

Grafik fungsi diatas merupakan salah satu contoh grafik fungsi definit positif, dimana grafiknya tidak memotong sumbu-x dan untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada diatas sumbu-x.

Titik Potong Sumbu X dan Sumbu Y

Pada materi ini kamu akan mempelajari tentang cara menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y pada grafik fungsi kuadrat.

Menentukan Titik Potong dengan Sumbu X

Coba kamu perhatikan gambar grafik fungsi kuadrat y = - x² – 5x - 4 (yang berwarna merah), grafik tersebut memotong sumbu x pada angka -4 dan -1, sehingga dapat dikatakan titik potong grafik fungsi kuadrat  y = - x² – 5x - 4 (yang berwarna merah) dengan sumbu x adalah : (-4,0) dan (-1,0).

Demikian pula dengan grafik fungsi kuadrat y = x² – 3x + 2 (yang berwarna biru), grafik tersebut memotong sumbu x pada angka 1 dan 2, sehingga dapat dikatakan titik potong grafik  fungsi kuadrat y = x² – 3x + 2 (yang berwarna biru) dengan sumbu x adalah : (1,0) dan (2,0).

Dari gambar di atas, kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh? Apakah kesimpulanmu sama dengan uraian berikut?

Contoh:

 

1. Diketahui grafik y = 2x2 + x - 6

Tentukan titik potong grafik pada sumbu x!

Jawab:

Grafik y = 2x2 + x - 6, memotong sumbu x jika y = 0

Jadi,

2x2 + x - 6 = 0

(2x - 3) (x + 2) = 0

2x - 3 = 0 atau x + 2 = 0

2x = 3               x = -2

  x = 1½

Jadi titik potong grafik y = 2x2 + x - 6 pada sumbu x adalah (1½, 0) dan (- 2, 0)

2. Diketahui grafik y = -x2 - 5x - 4

Tentukan titik potong grafik pada sumbu x!

Jawab:

Grafik y = - x2 - 5x - 4, memotong sumbu x jika y = 0

Jadi,

- x2 - 5x - 4 = 0

(-x - 1)(x + 4) = 0

-x - 1 = 0 dan x + 4 = 0

-x = 1       dan x = -4

x = -1

Jadi titik potong grafik y = - x2 - 5x - 4 pada sumbu x adalah (-1, 0) dan (-4, 0)

Menentukan Titik Potong dengan Sumbu Y

Coba kamu perhatikan gambar grafik  fungsi kuadrat y = - x² – 5x - 4 (yang berwarna merah), grafik tersebut memotong sumbu y pada angka -4, sehingga dapat dikatakan titik potong grafik  fungsi kuadrat y = - x² – 5x - 4 (yang berwarna merah) dengan sumbu y adalah : (0, -4).

Demikian pula dengan grafik  fungsi kuadrat y = x² – 3x + 2 (yang berwarna biru), grafik tersebut memotong sumbu y pada angka 2, sehingga dapat dikatakan titik potong grafik  fungsi kuadrat y = x² – 3x + 2 (yang berwarna biru) dengan sumbu y adalah : (0, 2).

Dari gambar di atas, kesimpulan apa yang dapat kamu peroleh? Apakah kesimpulanmu sama dengan uraian berikut?

Contoh:

 

1. Diketahui grafik y = 2x2 + x - 6

Tentukan titik potong grafik pada sumbu y!

Jawab:

Grafik y = 2x2 + x - 6, memotong sumbu y jika x = 0

Jadi,

y = 2(0)2 + 0 - 6

y = -6

Jadi titik potong grafik y = 2x2 + x - 6 pada sumbu y adalah (0, -6)

2. Diketahui grafik y = -x2 - 5x - 4

Tentukan titik potong grafik pada sumbu y!

Jawab:

Grafik y = - x2 - 5x - 4, memotong sumbu y jika x = 0

Jadi,

y = -(0)2 - 5(0) - 4

y = -4

Jadi titik potong grafik y = - x2 - 5x - 4 pada sumbu x adalah (0, -4)

Gambarkan sketsa grafik fungsi berikut:

a.  

Pembahasan:

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat sebagai berikut:

Pertama menentukan koordinat titik potong sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika  maka: 

  

maka diperoleh nilai  

atau

   

sehingga koordinat titik potong sumbu X adalah  dan .

Kedua menentukan koordinat titik potong sumbu X. Grafik memotong sumbu X jika  maka:

   

sehingga koordinat titik potong sumbu Y adalah .

Ketiga menentukan koordinat titik balik atau titik puncak:

    

sehingga koordinat titik balik atau titik puncak adalah   .

Dengan demikian grafik fungsi kuadrat  adalah 

Jadi, gambar sketsa grafik fungsi  adalah gambar di atas.

Contoh : Lukislah grafik fungsi y = x2 – 6x – 7 !

Jawab : y = x2 – 6x – 7

1.Titik potong terhadap sumbu x, diperoleh jika y = 0

x2 – 6x – 7 = 0

(x + 1) (x – 7) = 0

x = -1 atau x = 7

Jadi, Titik potong terhadap sumbu x adalah (-1,0) dan (7,0)

2.Titik potong terhadap sumbu y, diperoleh jika x = 0

y = x2 – 6x – 7 untuk x = 0

y = 02 -6.0 – 7 = -7

Jadi, Titik potong terhadap sumbu y adalah (0,-7)

3.Koordinat titik puncak

Jadi, koordinat titik puncaknya P(3,-16)

4.Grafik

Contoh 1

Gambarkan grafik fungsi y = x2 – 1.

Penyelesaian:

Diketahui fungsi y = x2 – 1 dengan a = 1, b = 0, c = -1.

• Titik potong sumbu x dengan syarat y = 0.

y = x2 – 1
⇔ 0 = x2 – 1
⇔ (x + 1) (x - 1) = 0
⇔ x = -1 atau x = 1

∴ Titik potong sumbu x adalah (-1, 0) dan (1, 0).

• Titik potong sumbu y dengan syarat x = 0.

y = x2 – 1
⇔ y = 0 – 1
⇔ y = -1

∴ Titik potong sumbu y adalah (0, -1).

• Titik balik

$\begin{array}{l}{x}_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2(1)}=0\\ y_p=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{0^2-4(1)(-1)}{4(1)}=-\frac{4}{4}=-1\end{array}$

∴ Titik baliknya adalah (0, -1)

Ini berarti, titik baliknya sama dengan titik potong fungsi dengan sumbu y.

• Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang Cartesius, sehingga terbentuk grafik y = x2 – 1 seperti di bawah ini.

Contoh 2

Gambarkan grafik fungsi y = x2 – 2x - 8.

Penyelesaian:

Diketahui fungsi y = x2 – 2x - 8 dengan a = 1, b = -2, dan c = -8.

• Titik potong sumbu x dengan syarat y = 0.

y = x2 – 2x - 8
⇔ 0 = x2 – 2x - 8
⇔ (x - 4) (x + 2) = 0
⇔ x = 4 atau x = -2.

∴ Titik potong sumbu x adalah (-2, 0) dan (4, 0).

• Titik potong sumbu y dengan syarat x = 0.

y = x2 – 2x - 8
⇔ y = 0 – 0 – 8
⇔ y = -8

∴ Titik potong sumbu y adalah (0, -8).

• Titik balik

$\begin{array}{l}{x}_p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2(1)}=1\\ y_p=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{{(-2)}^2-4(1)(-8)}{4(1)}=-\frac{36}{4}=-9\end{array}$

∴ Titik baliknya adalah (1, -9).

• Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang Cartesius, sehingga terbentuk grafik y = x2 – 2x - 8 seperti di bawah ini.

Contoh 3

Gambarkan grafik fungsi f : x → -x2 – 2 dengan domain adalah {-2, -1, 0, 1, 2} dan rangenya adalah himpunan bilangan real.

Penyelesaian :
Diketahui:
f (x) = -x2 – 2
domain f (x) = {-2, -1, 0, 1, 2}

Range (daerah hasil) dari f (x) dapat ditentukan dengan mensubstitusikan anggota domain ke f (x).

f (x) = -x2 – 2
f (-2) = -(-2)2 – 2 = -6
f (-1) = -(-1)2 – 2 = -3
f (0) = -(0)2 – 2 = -2
f (1) = -(1)2 – 2 = -3
f (2) = -(2)2 – 2 = -6

Pasangan berurutan dari domain dan range f (x) adalah:
(-2, -6), (-1, -3), (0, -2), (1, -3), (2, -6)

Gambarkan pasangan berurutan tersebut dalam bentuk titik (noktah) pada bidang Cartesius kemudian hubungkan, sehingga membentuk grafik y = x2 – 2x - 8 seperti di bawah ini.

Soal 1:

Apabila fungsi f(x)=px2-(p+1)x-6 mencapai nilai tertinggi untuk x=-1, maka tentukan nilai p.

Jawab:

x=-1 merupakan sumbu simetri, rumusnya -b/2a.

Artinya: -b/2a=-1
-(-(p+1))/2(p)=-1
p+1=-2p
3p=-1
p=-1/3

Soal 2: 

Menentukan titik ekstrim dan juga titik potong dengan sumbu X untuk fungsi kuadrat
f(x)=x2-20x+75.

Jawab:
Titik ekstrim rumusnya:

Titik potong dengan sumbu X apabila y=0 untuk fungsi kuadrat y=x2-20x+75 titik ekstrimnya:

Titik potong dengan sumbu X

x2-20x+75=0
(x-5)(x-15)=0
x=5 atau x=15 sehingga titik potongnya adalah (5,0) dan (15,0)

Soal 3:
Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat y=x2+4x-6 yaitu…

Jawab:

Koordinat balik rumusnya yaitu:

Soal 4: 

Diketahui f(x) = -x2 + 5x + c, apbila ordinat puncaknya 6 maka nilai c yaitu…

Jawab:

Ordinat titik puncak, rumus: -D/4a
-(52-4(-1)c)/4(-1) = 6
-(25+4c)/-4=6
-(25+4c)=-24
25+4c=24
4c=-1
c=-1/4

Selanjutnya akan kami berikan contoh soal pada SNMPTN dan juga UN mengenai fungsi kuadrat, simak baik-baik pembahasan di bawah ini:

Soal 1. (MADAS SNMPTN 2012)

Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-2,0) dan melalui titik (0,-4) maka nilai f(-5) adalah …

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

Jawab:

Diketahui titik puncak ( xp , yp) = (-2,0), melewati titik (x , y) = (0,-4)

Rumus yang sesuai jika diketahui titik puncaknya adalah:

y = f(x) = a(x-xp )2 + yp

Untuk mencari nilai a, maka:

y = f(x) = a(x-xp)2 + yp
y = a(x+2)2 + 0
-4 = a(0+2)2 + 0
-4 = 4a
a = -1

Sehingga akan diperoleh:
f(x) = -(x + 2)2, dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)2 = -9

Jadi, jawabannya yaitu: C

Soal 2. (MatDas SBMPTN 2013)

Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-x negatif maka …

1. a > 0, b > 0 dan c > 0
2. a < 0, b < 0 dan c > 0
3. a < 0, b > 0 dan c < 0
4. a > 0, b > 0 dan c < 0
5. a < 0, b > 0 dan c > 0

Jawab:

Diketahui titik puncaknya adalah (8,4), sehingga grafik terbuka ke bawah, maka:

a < 0
xp = -b/2a = 8, karena a < 0 → b > 0
D = b2 – 4ac, syarat memotong sumbu x negatif D > 0 sebab b > 0 dan a < 0, maka:
b2 – 4ac > 0
(+) – 4(-)c > 0
c > 0

Jadi jawabannya yaitu: E

Soal 3. (Matematika IPA SBMPTN 2014)

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis x = -2 dan garis singgung parabola tersebut dititik (0,1) sejajar dengan garis 4x + y = 4 . Titik puncak parabola tersebut adalah …

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

Jawab: 

Misalkan persamaan parabolanya adalah  y = ax2 + bx + c parabola simetris kepada garis xp = -2 maka tentukan xp = -b/2a =-2 → b = 4

garis ≡ 4x+y = 4 → mg = -4
Sebab sejajar  maka mparabola = mgaris = -4
mparabola = y
2ax + b = -4 lewat titik (0,1)
2a(0) + b = -4
b = -4

Untuk menentukan xp dan yp:
b = 4a
-4 = 4a
a = -1

Persamaan parabola y = ax2 + bx + c adala:h sebagai berikut
y = -x2 – 4x + c melalui titik (0,1)
1 = -02 – 4(0) + c
c = 1

Maka bisa dihitung y = -x2 – 4x + 1
xp = -b/2a = -(-4)/2(-1) = -2 dan yp = -(-2)2 – 4(-2) +1= 5

Sehingga titik puncak parabolanya yaitu (-2,5)

Jadi jawabannya yaitu: E

Soal 4. (UN 2008)

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1,0), B(3,0), dan C(0,-6) adalah …

1. y = 2x2 + 8x – 6
2. y = -2x2 + 8x – 6
3. y = 2x2 – 8x + 6
4. y = -2x2 – 8x – 6
5. y = -x2  + 4x – 6

Jawab:

Untuk titik C (0,-6) → x = 0, y = – 6

Untuk titik A (1,0) dan B (3,0) → x1 = 1, x2 = 3

Maka rumus yang berlaku adalah y = a(x – x1)(x – x2)

y = a(x – 1)(x – 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = – 2

Menentukan fungsi kuadrat caranya:

y = a(x – x1)(x – x2)
y = – 2(x – 1)(x – 3)
y = – 2(x2 – 4x + 3)
y = – 2x2 + 8x – 6

Jadi jawabannya yaitu: B

Soal 5. (UN 2007)

Perhatikan gambar!

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …

1. y = -2x2 + 4x + 3
2. y = -2x2 + 4x + 2
3. y = -x2 + 2x + 3
4. y = -2x2 + 4x – 6
5. y = -x2 + 2x – 5

Jawab:

Diketahui:
(xp , yp) = (1,4)
(x , y)  = (0,3)

Ditanyakan: fungsi kuadrat yang akan terbentuk?

Untuk parabola yang mempunyai titik puncak rumus yang berlaku seperti di bawah ini:
y = a(x – xp)2 + yp
y = a (x – 1)2 + 4
3 = a(0 -1)2 + 4
3 = a + 4
a = -1

Fungsi kuadrat yang terbentuk yaitu:
y = a(x – xp)2 + yp
y = -1(x -1)2 + 4
y = -x2 + 2x + 3

Jadi jawabannya yaitu: C

01 Lukislah grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 8
Jawab

Titik potong dengan sumbu-X, yakni
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x1 = 4 dan x2 = –2
Titiknya (–2, 0) dan (4, 0)

Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni
y = x2 – 2x – 8
y = (0)2 – 2(0) – 8 = –8 Titiknya (0, –8)

Titik balik minimumnya di P(1, –9)
Gambar grafiknya:

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan diskriminan D = b2 – 4ac akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :
(1) Memotong sumbu x di dua titik jika D > 0
(2) Menyinggung sumbu x jika D = 0
(3) Tidak memotong atau menyinggung sumbu x jiks D < 0
(4) Membuka ke atas jika a > 0
(5) Membuka ke bawah jika a < 0

(6) Seluruh fungsinya berada di atas sumbu x (definit positip) jika D < 0 dan a > 0
(7) Seluruh fungsinya berada di bawah sumbu x (definit negatip) jika D < 0 dan a < 0

 Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat disusun jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)( x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum P(3, –6) dan melalui titik (5, 2)
Jawab
y = a(x – p)2 + q
y = a(x – 3)2 + (–6)
y = a(x2 – 6x + 9) – 6
Melalui titik (5, 2) maka:
2 = a(52 – 6(5) + 9) – 6
2 + 6 = a(25 – 30 + 9)
8 = a(4) sehingga a = 2
Jadi
y = 2(x2 – 6x + 9) – 6
y = 2x2 – 12x + 12

02. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat jika titik potongnya dengan sumbu-X adalah A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8)
Jawab
y = a(x – x1)( x – x2)
y = a(x – 4)(x – (–2))
y = a(x – 4)(x + 2)
y = a(x2 – 2x – 8)
Melalui titik (2, –8) maka :
–8 = a((2)2 – 2(2) – 8)
–8 = a(4 – 4 – 8)
–8 = a(–8) sehingga a = 1
Jadi
y = 1(x2 – 2x – 8)
y = x2 – 2x – 8

03. Tentukanlah nilai m agar fungsi kuadrat y = mx2 + (2m + 1) x + (m + 2) menyinggung sumbu-X
Jawab
Syarat menyinggung : D = 0
b2 – 4ac = 0
(2m + 1)2 – 4(m)(m + 2) = 0
4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 8m = 0
–4m + 1 = 0
m = 1/4