Fungsi Kuadrat

Contoh Soal Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

1. f(x) = 4x² + 3x + 8. Hitunglah nilai a + 2b + 3c!

Jawaban:

Diketahui nilai a = 4, b = 3, c = 8
= a + 2b + 3c
= 4 + 2(3) + 3(8)
= 4 + 6 + 24
= 34

2. f(x) = 3x² - 2x + 5 memiliki bentuk sesuai dengan bentuk f(x) = ax² + bx + c. Hitunglah nilai 2a + 3b + 4c!

Jawaban:

= Diketahui nilai a = 3, b = -2, c = 5
= 2a + 3b + 4c
= 2(3) + 3(-2) + (4 x 5)
= 6 - 6 + 20
= 20

3. Diketahui fungsi f(x) = x² + 4x + 5. Hitunglah bayangangan untuk nilai x = 3

Jawaban:
= f(x) = x² + 4x + 5
= f(3) = 3² + 4(3) + 5
= f(3) = 9 + 12 + 5
= f(3) = 26

Contoh Soal 1

Jika grafik  mempunyai titik puncak (1, 2), tentukan nilai a dan b. (UMPTN ’92)

Pembahasan 1:

Gunakan rumus  sebagai nilai x titik puncak, sehingga:

Substitusi titik puncak (1, 2) ke dalam persamaan  diperoleh:

Dari persamaan baru, substitusikan nilai ,maka:

Contoh Soal 2

Jika fungsi   mempunyai sumbu simetri x = 3, tentukan nilai maksimumnya. (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

Sehingga fungsi y menjadi:

Nilai maksimumnya:

Soal 3

Tentukan grafik yang melintasi (-1, 3) dan titik minimumnya sama dengan puncak grafik . (UMPTN ‘00)

Pembahasan:

Titik puncak  adalah:

Substitusikan nilai  dan  dalam persamaan:

Maka grafik fungsi kuadrat yang dicari adalah:

Soal dan Pembahasan Fungsi Kuadrat

Soal ❶ (UMPTN 1992)

Grafik dari y = 4x - x2 paling tepat di gambar sebagai ....

Pembahasan:

y = 4x - x2 dapat ditulis menjadi y = - x2 + 4x, dengan koefisien-koefisien a = -1, b = 4, dan c = 0.

Karena a = -1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah

* Nilai diskriminannya (D):

   D = b2 - 4ac = (4)2 - 4(-1)(0) = 16

   Karena D = 16 > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik.

* Titik potong dengan sumbu x ⇔ y = 0

   y = 4x - x² atau 4x - x² = y
  ⇔- x2 + 4x = 0

  ⇔ x(-x + 4) = 0

  ⇔ x = 0 atau x = 4

Jadi, grafik y = 4x - x2 yang benar adalah grafik pada jawaban B.

Baca juga: Kumpulan Soal lengkap persamaan kuadrat 

Soal ❷ (UMPTN 2000)
Diketahui parabola y = mx² - (m + 4)x - 1 dan garis lurus y = x  - ½. Jika parabola dan garis lurus itu saling bersinggungan maka nilai m = .....
A. -2 atau 8
B. -4 atau 4
C. 2 atau -8

D. -2 atau -8
E. 2 atau 8
Pembahasan:
Subtitusikan persamaan garis ke persamaan parabola:
mx² - (m + 4)x - 1 = x - ½
mx² - (m + 4)x - 1 + ½ = 0
mx² - (m + 4)x - ½ = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(m + 4)² - 4(m)(-½) = 0
m² + 8m + 16 + 2m = 0
m² + 10m + 16 = 0
(m + 2)(m + 8) = 0
m = -2 atau m = -8
(Jawaban: D)

Soal ❸ (PROYEK PERINTIS 1979)

Grafik fungsi y = x2 - 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .

A. a < 0
B. a < 4
C. a ≤ 4
D. a > 4
E. a ≥ 4

Pembahasan:

Fungsi y = x2 - 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:

1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 0

2) Menyinggung sumbu X => D = 0

Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0

⇔ b2 - 4ac ≤ 0

⇔ (-4)2 - 4(1)(a) ≤ 0

⇔ 16 - 4a ≤ 0

⇔ 16 ≤ 4a

⇔ 4 ≤ a

⇔ a  ≥ 4
(Jawaban: E)

Soal ❹ (PROYEK PERINTIS 1979)

Titik puncak dari parabola {(x,y)| y = 2x2 - 12x + 14} adalah. . . . .

A. (3 , 4)
B. (3 , -4)
C. (6 , 4)
D. (6 , -4)
E. (3, 6)

Pembahasan:

y = 2x2 - 12x + 14 dengan a = 2, b = -12, dan c = 14

Titik puncak (xp , yp):

xp = −b2a
     = −(−12)2(2)
     = 124
     = 3

yp = b²−4ac−4a
     = (−12)²−4(2)(14)−4(2)
     = 144−112−8
     = 32−8
     = -4

Jadi, titik puncaknya adalah (3 , -4)
(Jawaban: B)
Baca juga: Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Soal ❺ (SIPENMARU 1987)

Jika parabola y = x2 - px + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka ordinatnya adalah.....

A. -9
B. -8
C. 0
D. 8
E. 9

Pembahasan:
y = x2 - px + 7, maka a = 1, b = -p, c = 7

Absis (x) = −b2a
Karena absisnya = 4, maka:

⇔ −b2a = 4
⇔ −(−p)2(1) = 4
⇔ p2 = 4
⇔ p = 4 x 2
⇔ p = 8
Jadi, b = -p = -8

Ordinat (y) = b²−4ac−4a
                   = (−8)²−4(1)(7)−4(1)
                   = 64−28−4
                   = 36−4
                   = 9

Jadi, ordinatnya adalah -9
(Jawaban: A)

Soal ❻ (UMPTN 1998)

Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2 + 4x + a adalah 3, sumbu simetrinya adalah x = ......

A. -2
B. -1
C. -½
D. 2
E. 4 

Pembahasan:
f(x) = ax2 + 4x + a

f.maks = b²−4ac−4a = 3, syarat a < 0
           ⇔ 4²−4a.a−4a = 3

           ⇔ 16 - 4a² = 3 x (-4a)
           ⇔ 16 - 4a² = -12a
           ⇔ 16 - 4a² + 12a = 0

           ⇔ 4a2- 12a - 16 = 0

           ⇔ a2- 3a - 4 = 0

           ⇔ (a + 1)(a - 4) = 0

           ⇔ a = -1 atau a = 4 (tidak memenuhi)

Sumbu simetri = −b2a
                        = −42(−1)
                        = −4−2
                        = 2
(Jawaban: D)

Soal ❼ (PROYEK PERINTIS 1983)
Nilai k yang harus diambil supaya f(x) = kx2 + 16x + 4k selalu mempunyai nilai positif adalah......
A. k < -4 atau k > 4
B. -4 < k < 4
C. 0 < k < 4
D. k > 4
E. k < 4
Pembahasan:
Selalu mempunyai nilai positif = definit positif, syarat:
1) D < 0
⇔ b2- 4ac < 0
⇔ 162- 4(k)(4k) < 0
⇔ 162- 16k2 < 0
⇔ 16 - k2 < 0
⇔ (4 - k)(4 + k) < 0
⇔ k < -4 atau k > 4 --------------------(1)

2) a > 0
    k > 0  ----------------------------------(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k > 4
(Jawaban: D)

Soal ❽ (SPMB 2004)
Agar kurva y = mx² - 2mx + m seluruhnya terletak di atas kurva y = 2x² - 3 maka konstanta m memenuhi.....
A. m > 6
B. m > 2
C. 2 < m < 6
D. -6 < m < 2
E. -6 < m < 2
Pembahasan:
Syarat: y₁ > y₂
mx² - 2mx + m > 2x² - 3
mx² - 2mx + m - 2x² + 3 > 0
(m - 2)² - 2mx + (m + 3) > 0

Syarat definit positif adalah:
(1) a > 0
    (m - 2) > 0
     m  > 2 ................(1)

(2) D < 0
b² - 4ac < 0
(-2m)² - 4(m - 2)(m + 3) < 0
      4m² - 4m² - 4m + 24 < 0
                        -4m + 24 < 0
                               -4m  <  -24
                                    m > 6 .........(2)

Irisan (1) dan (2) adalah m > 6
(Jawaban: A)