LINGKARAN

 Contoh Soal 1

Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 35 cm. Tentukanlah keliling lingkaran dan luas lingkaran.

Penyelesaian

d = 35 cm => r = ½ x d = 17,5 cm

Untuk mencari keliling lingkaran dapat digunakan rumus berikut.

K = πd = (22/7) x 35 cm = 110 cm

Sedangkan untuk mencari luas lingkaran dapat menggunakan rumus berikut.

L = π (½ x d)2

L = ¼ π x d2

L = ¼ x 22/7 x (35 cm )2

L = 962,5 cm2

Contoh Soal 2

Panjang jari-jari sepeda adalah 50 cm. Tentukanlah diameter ban sepeda tersebut dan keliling ban sepeda tersebut.

Penyelesaian:

r = ½ d => d = 2r = 2 x 50 cm = 100 cm

K = πd = 3,14 x 100 cm = 314 cm

Contoh Soal 3

Sebuah lapangan berbentuk lingkaran memiliki 88 m, tentukanlah luas lapangan tersebut.

Penyelesaian:

K = 2πr

88 m = 2 x 22/7 x r

88 m = 44r/7

2 m= r/7

r = 14 m

L = πr2

L = (22/7) x 142

L = 22 x 2 x 14 m2

L = 616 m2

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar di bawah ini!

Sebuah persegi terletak tepat di dalam sebuah lingkaran. Jika persegi tersebut memiliki panjang sisi 14 cm, tentukanlah jari-jari lingkaran, keliling lingkaran dan luas yang diarsir.

Penyelesaian:

Untuk mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu cari diameter lingkaran (AC) dengan menggunakan rumus phytagoras yaitu:

AC = √(AB2 + BC2)

 AC = √(142 + 142)

AC = √(196+196)

AC = √(2 x 196)

AC = 14√2 cm

jari-jari lingkaran sama dengan setengah diameter lingkaran (AC), maka

AO = ½ AC

AO = ½ x 14√2 cm

AO = 7√2 cm

Untuk mencari keliling lingkaran gunakan rumus keliling lingkaran yaitu

K = 2πr

K= 2 x 22/7 x 7√2 cm

K = 44√2

Untuk mencari luas daerah yang di arsir kita tinggal mengurangkan luas lingkaran dengan luas persegi. Jadi terlebih dahulu cari luas lingkaran dan luas persegi.

Luas lingkaran = πr2

Luas lingkaran = (22/7) x (7√2 cm)2

Luas lingkaran = 308 cm2

Contoh Soal 5

Sebuah ban mobil memiliki panjang jari-jari 30 cm. Ketika mobil tersebut berjalan, ban mobil tersebut berputar sebanyak 100 kali. Tentukan diameter ban mobil, keliling ban mobil, dan jarak yang ditempuh mobil.

Penyelesaian:

d = 2r = 2 x 30 cm = 60 cm

Jadi diameter ban mobil adala 60 cm

K = πd

K = 3,14 × 60 cm

K = 188,4 cm

Jadi keliling ban mobil adala 188,4 cm

Jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah

Jarak = keliling × banyak putaran

Jarak = 188,4 × 100

Jarak = 18.840

Jadi, jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah 18.840 cm atau 188,4 m

Contoh Soal 6

Perhatikan gambar di bawah berikut ini!

Sebuah lingkaran tepat berada di dalam persegi. Jika ukuran rusuk persegi tersebut adalah 14 cm, tentukanlah luas persegi, luas lingkaran, dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesian:

Untuk mencari luas persegi kita gunakan rumus luas persegi yaitu:

 L.persegi = s2

L.persegi = (14 cm)2

L.persegi = 196 cm2

Sedangkan untuk mencari luas lingkarani kita gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L.lingkaran = πr2

L.lingkaran = (22/7) x (7 cm)2

L.lingkaran = 154 cm2

Luas daerah yang diarsir merupakan luas daerah persegi yang dikurangi dengan luas lingkaran, yaitu:

L.arsir = L.persegi - L.lingkaran

L.arsir = 196 cm2 - 154 cm2

L.arsir = 42 cm2

Contoh Soal 7

Perhatikan gambar di bawah berikut ini. Sebuah persegi terletak tepat berada di dalam lingkaran. Jika keliling persegi tersebut adalah 112 cm, tentukanlah luas persegi, luas lingkaran, dan luas daerah yang diarsir.

Penyelesian:

Untuk mencari luas persegi dapat digunakan rumus hubungan antara luas persegi dengan kelilingnya, yaitu:

L. persegi = K2/16

L. persegi = (112 cm)2/16

L. persegi = 784 cm2

Untuk mencari luas lingkaran terlebih dahulu harus diketahui jari-jari lingkaran tersebut, sedangkan jari-jari lingkaran akan didapat jika sudah ketemu diameter dari lingkaran tersebut. Diameter lingkaran akan di dapat setelah sisi dari persegi tersebut dikatahui kemudian menggunakan rumus phytagoras.

s = K/4

s = 112 cm/4

s = 28 cm

setelah ketemu sisi persegi maka diameter (d) lingkaran yang sama dengan diagonal persegi dapat dicari dengan menggunakan rumus phytagoras, yaitu:

d = √(s2 + s2)

d = √(282 + 282)

d = √(784 + 784)

d = √(2 x 784)

d = 28√2 cm

r = ½ d

r = ½ x 28√2

r = 14√2 cm

Sekarang kita akan mencari luas lingkaran dengan menggunakan rumus

L. lingkaran = πr2

L. lingkaran = (22/7) x (14√2 cm)2

L. lingkaran = 1.232 cm2

Luas daerah yang diarsir merupakan luas daerah lingkaran yang dikurangi luas daerah persegi, maka:

L.arsir = L. lingkaran – L. persegi

L.arsir = 1.232 cm2 - 784 cm2

L.arsir = 448 cm2

Jadi luas daerah yang diarsir adalah 448 cm2.

Contoh Soal 8 Kntekstual

Di pusat sebuah kota rencananya akan dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter 56 m. Di dalam taman itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran berdiameter 28 m. Jika di luar kolam akan ditanami rumput dengan biaya Rp6.000,00/m2, hitunglah seluruh biaya yang harus dikeluarkan untuk menanam rumput tersebut.

Penyelesaian:

Untuk mencari luas lingkaran yang ditamani rumput dapat dicari dengan cara mengurangi luas lingkaran seluruhnya dengan luas lingkaran yang ada di dalam. Oke sekarang kita cari terlebih dahulu luas lingkaran seluruhnya yang diameternya 56 cm, yaitu:

r = ½ d = ½ x 56 m = 28 m

L total = πr2

L total = (22/7) x (28 m)2

L total = 2.464 m2

Untuk mencari luas lingkaran dalam sama caranya seperti mencari luas lingkaran total, hanya saja diamternya saja yang beda yaitu 28 m.

r = ½ d = ½ x 28 m = 14 m

L total = πr2

L total = (22/7) x (14 m)2

L total = 616 m2

Luas lingkaran yang ditanami rumput dapat dicari dengan cara mengurangi luas lingkaran total dengan luas lingkaran dalam, yaitu:

L.rumput = L.total – L.dalam

L.rumput = 2.464 m2 – 616 m2

 L.rumput = 1.848 m2

Terakhir sekarang kita akan tenutkan berapa biaya yang diperlukan untuk menanam rumput jika harga rumput tersebut Rp6.000,00/m2.

Biaya = L.rumput x biaya

Biaya = 1.848 m2 x Rp6.000,00/m2

Biaya = Rp. 11.088.000,00

Jadi biaya yang diperlukan untuk menanam rumput yang ada di luar kolam sebesar Rp. 11.088.000,00.

 contoh soal berikut ini.

Hitunglah luas dan keliling daerah yang diarsir?

Penyelesaian:

Luas daeah yang diarsir dapat dicari  dengan cara mengurangi luas setengah lingkaran yang besar (berjari-jari 14 cm) dengan dua lingkaran yang luasnya setengah (berjari-jari 7 cm). Sekarang cari luas lingkaran yang besar, yakni:

L. besar = ½ πr2

L. besar = ½ (22/7)(14 cm)2

L. besar = 308 cm2

Sekarang cari luas lingkaran yang kecil, yakni:

L. kecil = 2(½πr2)

L. kecil = πr2

L. kecil = (22/7)(7 cm)2

L. kecil = 154 cm2

Sekarang cari luas yang diarsir, yakni:

L. arsir = L. besar - L. kecil

L. arsir = 308 cm2 - 154 cm2

L. arsir = 154 cm2

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 154 cm2

Keliling daeah yang diarsir dapat dicari  dengan cara menjumlahkan keliling setengah lingkaran yang besar (berjari-jari 14 cm) dengan dua lingkaran yang kelilingnya setengah (berjari-jari 7 cm). Sekarang cari keliling lingkaran yang besar, yakni:

K. besar = ½(2πr)

K. besar = πr

K. besar = (22/7)14 cm

K. besar = 44 cm

Sekarang cari keliling lingkaran yang kecil, yakni:

K. kecil = 2 x ½ x 2πr

K. kecil = 2πr

K. kecil = 2(22/7)(7 cm)

K. kecil = 44 cm

Sekarang cari keliling yang diarsir, yakni:

K. arsir = K. besar + K. kecil

K. arsir = 44 cm + 44 cm

K. arsir = 88 cm

Jadi, keliling daerah yang diarsir adalah 88 cm

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Ada banyak cara untuk menjawab soal di atas, akan tetapi di sini Mafia Online menggunakan konsep luas tembereng. Silahkan baca cara cepat menghitung luas tembereng. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita ambil satu helai daun sehingga panjang sisinya menjadi 7 cm. Untuk memudakan menjawab helai daun tersebut dapat gambarkan menjadi lingkaran yang jari-jarinya 7 cm, seperti gambar di bawah ini.

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)(7 cm)2

L = 14 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:

L = 8 . 14 cm2

L = 112 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 112 cm2

Contoh Soal 3

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika panjang sisi persegi 14 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.

Penyelesaian:

Caranya sama seperti cara menjawab soal sebelumnya di atas. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk memudahkan perhitungan kita buat lingkaran seperti gambar diatas. Sekarang kita cari panjang diameter lingkaran dengan teorema phytagoras, yakni:

d = √(72 + 72)

d = 7√2 cm

Sekarang cari jari-jari lingkaran:

r = d/2

r = 7√2/2

r = (7/2)√2 cm

Sekarang hitung luas tembereng dengan cara cepat yakni:

L = (2/7)r2

L = (2/7)((7/2)√2 cm)2

L = 7 cm2

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan mengalikan jumlah tembereng dengan luas masing-masing tembereng. Dalam hal ini ada 8 buah tembereng, maka:

L = 8 . 7 cm2

L = 56 cm2

Jadi luas yang diarsir adalah 56 cm2

1.Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui juring ∠AOB = 45° dan OB = 7 cm, hitunglah panjang busur AB!

Penyelesaian:
Seperti yang telah dijelaskan diatas, pertama kita harus membagi sudut satu lingkaran penuh (360°) dengan sudut pusat yakni:
360°/45° = 8

Kedua, cari panjang busur (PB) lingkaran dengan cara membagi keliling lingkaran dengan hasil langkah pertama, yakni:
PB = 2πr/8
PB = 2 . (22/7) . 7 cm/8
PB = 44 cm/8
PB= 5,5 cm
Jadi, panjang busur AB adalah 5,5 cm

2.Sebuah juring memiliki sudut 90º dan jari-jarinya 7 cm. Berapakah panjang busur dan luas juringnya?

Diketahui :

θ = 90º

r = jari-jari = 7 cm.

Untuk mendapatkan panjang busur dan luas juring kita harus mencari keliling dan luas lingkaran.

Karena jari-jari 7 cm dan merupakan kelipatan dari 7, maka π = ²²/₇

Keliling lingkaran = 2πr
Keliling lingkaran = 2 × ²²/₇ × 7

Keliling lingkaran = 44 cm

Luas lingkaran = πr²
Luas lingkaran = ²²/₇ × 7²
Luas lingkaran = 154 cm²

Panjang busur

Rumus yang kita gunakan adalah yang ada sudut dan panjang busurnya.

90 dan 360 disederhanakan sehingga menjadi 1 banding 4
Kalikan silang antara 1 dan 44, kemudian kalikan silang panjang busur dengan 4
Untuk mendapatkan panjang busur, maka 44 harus dibagi dengan 4.
Diperoleh bahwa panjang busurnya adalah 11 cm.

Luas juring

Perhatikan penyelesaian dibawah ini..

Rumus yang dipakai adalah rumus yang ada sudut dan luas juring, karena yang diketahui besar sudut dan dicari luas juring. Untuk yang panjang busur tidak dipakai.

90 dan 360 disederhanakan menjadi 1 banding 4
kalikan silang 1 dan 154, kemudian kalikan silang luas juring dengan 4
Untuk mendapatkan luas juring, 154 dibagi dengan 4
Diperoleh luas juring = 38,5 cm²

3.Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui ∠AOB = 120° dan OB = 21 cm, hitunglah panjang busur AB!

Penyelesaian:
Seperti yang telah dijelaskan diatas, pertama kita harus membagi sudut satu lingkaran penuh (360°) dengan sudut pusat yakni:
360°/120° = 3

Kedua, cari panjang busur (PB) lingkaran dengan cara membagi keliling lingkaran dengan hasil langkah pertama, yakni:
PB = 2πr/3
PB = 2 . (22/7) . 21 cm/3
PB = 132 cm/3
PB= 44 cm
Jadi, panjang busur AB adalah 44 cm

4.Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui ∠AOB = 36° dan OB = 7 cm, hitunglah panjang busur AB!

Penyelesaian:
360°/36° = 10

PB = 2πr/8
PB = 2 . (22/7) . 7 cm/10
PB = 44 cm/10
PB= 4,4 cm
Jadi, panjang busur AB adalah 4,4 cm

Soal nomor 1:
Perhatikan gambar di bawah!

Titik O adalah pusat lingkaran. Luas juring OAB adalah . . . .
$A.225c{m}^2$
$B.231c{m}^2$
$C.308c{m}^2$
$D.352c{m}^2$
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\alpha }{{360}^o}=\frac{LuasJuringOAB}{\pi r^2}$
$\begin{array}{cc}LuasJuringOAB& =\frac{\alpha }{{360}^o}.\pi .r.r\\ & =\frac{{{135}^o}^3}{{{360}^o}^8}.\frac{22}{7}.{14}^2.14\\ & =\frac{3}{8}.22.2.14\\ & =\frac{3}{8}.11.\mathrm{2.2.2}.7\\ & =\mathrm{3.11.7}\\ & =231c{m}^2\end{array}$
jawab: B.

Soal nomor 2:
Perhatikan gambar pada soal nomor 1 ! Panjang busur kecil AB adalah . . . .
A. 11 cm
B. 22 cm
C. 33 cm
D. 44 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\alpha }{{360}^o}=\frac{\widehat{AB}}{2\pi r}$
$\begin{array}{cc}\widehat{AB}& =\frac{\alpha }{{360}^o}.2\pi r\\ & =\frac{{{135}^o}^3}{{{360}^o}^8}.2.\frac{22}{7}.{14}^2\\ & =\frac{3}{8}.2.22.2\\ & =\frac{3}{8}.\mathrm{2.2.2}.11\\ & =3.11\\ & =33cm\end{array}$
jawab: C.

Soal nomor 3:
Perhatikan gambar di bawah!

Titik O adalah titik pusat lingkaran. Jika luas juring OAB $=24c{m}^2$, maka luas juring OCD adalah . . . .
$A.56c{m}^2$
$B.48c{m}^2$
$C.42c{m}^2$
$D.36c{m}^2$
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\angle AOB}{\angle COD}=\frac{LuasJuringOAB}{LuasJuringOCD}$
$\frac{{{60}^o}^4}{{{105}^o}^7}=\frac{24}{LuasJuringOCD}$
$\frac{4}{7}=\frac{24}{LuasJuringOCD}$
$4.\left(LuasJuringOCD\right)=7.24$
$\begin{array}{cc}LuasJuringOCD& =\frac{7.{24}^6}{4}\\ & =7.6\\ & =42c{m}^2\end{array}$
jawab: C.

Soal nomor 4:
Perhatikan gambar pada soal nomor 3! Jika panjang busur CD = 21 cm, maka panjang busur AB adalah . . . .
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 12 cm
D. 14 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\angle AOB}{COD}=\frac{\widehat{AB}}{\widehat{CD}}$
$\frac{{{60}^o}^4}{{{105}^o}^7}=\frac{\widehat{AB}}{21}$
$\frac{4}{7}=\frac{\widehat{AB}}{21}$
$\frac{4}{7}.{21}^3=\widehat{AB}$
$4.3=\widehat{AB}$
$12=\widehat{AB}$
jawab: C.

Soal nomor 5:
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui luas juring OAB $=16c{m}^2$, luas juring OCD $=48c{m}^2$, dan panjang busur CD $=12cm$. Panjang busur AB adalah . . . .
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\widehat{AB}}{\widehat{CD}}=\frac{LuasJuringOAB}{LuasJuringOCD}$
$\frac{\widehat{AB}}{12}=\frac{16}{{48}^3}$
$\frac{\widehat{AB}}{12}=\frac{1}{3}$
$\widehat{AB}={12}^4.\frac{1}{3}$
$\widehat{AB}=4cm$
jawab: B.

Soal Nomor 6:
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui Luas juring OPQ $=36c{m}^2$, panjang busur PQ = 16 cm, dan panjang busur RS = 12 cm. Luas juring OSR adalah . . . .
$A.12c{m}^2$
$B.18c{m}^2$
$C.27c{m}^2$
$D.32c{m}^2$
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\widehat{PQ}}{\widehat{RS}}=\frac{LuasJuringOPQ}{LuasJuringORS}$
$\frac{{16}^4}{{12}^3}=\frac{36}{LuasJuringORS}$
$\frac{4}{3}=\frac{36}{LuasJuringORS}$
$4.\left(LuasJuringORS\right)=3.36$

$\begin{array}{cc}LuasJuringORS& =\frac{3.{36}^9}{4}\\ & =3.9\\ & =27c{m}^2\end{array}$
jawab: C.

Soal nomor 7:
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui luas juring OAB $=16c{m}^2$ dan panjang busur AB = 3,2 cm. Panjang OA adalah . . . .
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 11 cm
D. 12 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\frac{\angle AOB}{{360}^o}=\frac{\widehat{AB}}{2\pi r}$ . . . . (*)

$\frac{\angle AOB}{{360}^o}=\frac{LuasJuringOAB}{\pi r^2}$ . . . . (**)

Dari parsamaan (*) dan (**):
$\frac{\widehat{AB}}{2\pi r}=\frac{LuasJuringOAB}{\pi r^2}$
$\frac{\pi .r.r}{2\pi r}=\frac{LuasJuringOAB}{\widehat{AB}}$
$\frac{r}{2}=\frac{LuasJuringOAB}{\widehat{AB}}$
$\begin{array}{cc}r& =2.\frac{LuasJuringOAB}{\widehat{AB}}\\ & =2.\frac{16}{3,2}\\ & =\frac{32}{3,2}\\ & =10cm\\ \\ OA& =r\\ & =10cm\end{array}$
jawab: B.

Cara cepat:
$2.\left(LuasJuringOAB\right)=r.\widehat{AB}$
$2.16=r.3,2$
$32=r.3,2$
$r=10cm$
$OA=r=10cm$

Soal nomor 8:
Diketahui sebuah juring lingkaran memiliki luas $20c{m}^2$. Jika jari-jari lingkaran tersebut 4 cm, maka panjang busur dari juring lingkaran tersebut adalah . . . .
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$2\times \left(LuasJuring\right)=r\times \left(PanjangBusur\right)$
$2\times 20=4\times \left(PanjangBusur\right)$
$\begin{array}{cc}PanjangBusur& =\frac{2\times {20}^5}{4}\\ & =2.5\\ & =10cm\end{array}$
jawab: D.

Soal nomor 9:
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui AC merupakan diameter lingkaran, panjang busur AB = 12 cm dan besar sudut AOB $={72}^o$, maka panjang busur BC adalah . . . .
A. 15 cm
B. 18 cm
C. 21 cm
D. 24 cm
[Panjang Busur dan Luas Juring]

Pembahasan:
$\angle AOB+\angle BOC={180}^o$ → sudut berpelurus.
${72}^o+\angle BOC={180}^o$
$\angle BOC={180}^o-{72}^o$
$\angle BOC={108}^o$

$\frac{\angle AOB}{\angle BOC}=\frac{\widehat{AB}}{\widehat{BC}}$
$\frac{{{72}^o}^2}{{{108}^o}^3}=\frac{12}{\widehat{BC}}$
$\frac{2}{3}=\frac{12}{\widehat{BC}}$
$2.\widehat{BC}=3.12$
$\widehat{BC}=\frac{3.{12}^6}{2}$
$\widehat{BC}=18cm$
jawab: B.

Soal nomor 10:
Perhatikan gambar di bawah!

Jika panjang OA = 20 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah . . . . $(\pi =3,14)$
$A.114c{m}^2$
$B.57c{m}^2$
$C.48c{m}^2$
$D.35c{m}^2$
[Cara Menghitung Luas tembereng lingkaran]

Pembahasan:
$\begin{array}{cc}LuasJuringOAB& =\frac{\angle AOB}{{360}^o}.\pi r^2\\ & =\frac{{90}^o}{{{360}^o}^4}.3,{14.20}^2\\ & =\frac{1}{4}.3,14.{400}^{100}\\ & =3,14.100\\ & =314c{m}^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}LuasSegitigaAOB& =\frac{1}{2}.OA.OB\\ & =\frac{1}{2}.{20}^{10}.20\\ & =10.20\\ & =200c{m}^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}LA& =LuasJuringOAB-LuasSegitigaAOB\\ & =314-200\\ & =114c{m}^2\end{array}$
jawab: A.