BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Contoh Soal 1:
Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya
Jawab:
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.
Contoh Soal 2:
Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 5
b = –7
Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?
Jawab:
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah
Contoh Soal 3:
Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 12
b = 2
Ditanyakan
Jawab:
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.
Contoh Soal 4:
Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + adalah …
Pembahasan:
Diketahui: a = 2
b = 2
Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?
Jawab:
Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah
Contoh Soal 5:
Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …
Pembahasan:
Diketahui
Ditanya:
Jawab:
Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan
dan
.
Sebelumnya mari ingat lagi bahwa sehingga
dan
dapat ditulis menjadi
. . .(i)
. . .(ii)
Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.
a + 2b = 24
a + 5b = 36 –
-3b = -12
b = 4
Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).
a + 2b = 24
a + 2 . 4 = 24
a + 8 = 24
a= 24 – 8
a = 16
Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari
Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.
Rumus suku ke-n barisan aritmatika 94, 90, 86, 82, ... adalah...
a. Un = 90 + 4n
b. Un = 94 + 4n
c. Un = 94 - 4n
d. Un = 98 - 4n
Pembahasan:
Suku pertama = a = 94
Beda = b = 90 - 94 = -4
suku ke-n = Un = a + (n-1) b
= 94 + (n-1) -4
= 94 + (-4n) + 4
= 94 + 4 - 4n
= 98 - 4n (pilihan d)
Soal 2:
Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 26. Jumlah 18 suku pertama adalah....
a. 531
b. 603
c. 1.062
d. 1.206
Pembahasan:
U3 = 14
a + (3-1) b = 14
a + 2b = 14 ...... (persamaan pertama)
U7 = 26
a + (7-1) b = 26
a + 6b = 26 .... (persamaan dua)
Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
Lalu kita ambil persamaan pertama untuk mencari nilai a:
a + 2b = 14 (kita ganti b dengan 3, karena hasil b = 3)
a + 2(3) = 14
a + 6 = 14
a = 14-6
a = 8
Selanjutnya kita masukkan a = 8 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.8 + (18-1)3)
= 9 (16 + 17.3)
= 9 (16 + 51)
= 9. 67
= 603 (pilihan b)
Soal 3:
Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah...
a. 1.815
b. 2.520
c. 2.310
d. 2.550
Pembahasan:
suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3
Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815 (pilihan a)
Soal 4:
Banyak kursi pada baris pertama di gedung kesenian ada 22 buah. Banyak kursi pada baris di belakangnya 3 buah lebih banyak dari kursi pada baris di depannya. Banyak kursi pada baris kedua puluh adalah...
a. 77
b. 79
c. 82
d. 910
Pembahasan:
Bila dituliskan, maka bentuk barisan aritmatika kursi di gedung itu adalah: 22, 25, 28, ...
Ditanyakan: banyak kursi pada baris ke-20. Jadi kita diminta mencari U20
Un = a + (n-1)b
U20 = 22 + (20-1)3
= 22 + 19.3
= 22 + 57
= 79 (pilihan b)
Soal 5:
Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah 18 suku pertama adalah...
a. 531
b. 666
c. 1.062
d. 1.332
Pembahasan:
U7 = 22
a + (7-1)b = 22
a + 6b = 22 ...... (persamaan pertama)
U11 = 34
a + (11-1)b = 34
a + 10b = 34 .... (persamaan dua)
Selanjutnya persamaan satu dan persamaan dua kita kurangkan:
a + 6b = 22 (kita ganti b dengan 3, karena hasil b = 3)
a + 6(3) = 22
a + 18 = 22
a = 22-18
a = 4
Selanjutnya kita masukkan a = 4 dan b = 3 pada rumus jumlah suku atau Sn untuk mencari jumlah 18 suku pertama:
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S18 = 18/2 (2.4 + (18-1)3)
= 9 (8 + 17.3)
= 9 (8 + 51)
= 9. 59
= 531 (pilihan a)
Soal 6:
Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut adalah...
a. 3
b. 4
c. 5
d. 9
Pembahasan:
Beda dapat dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14
Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5
beda = b = S2-S1
= 14 - 5
= 9 (pilihan d)
Soal 7:
Suatu tumpukan batu bata terdiri atas 15 lapis. Banyak batu bata pada lapis paling atas ada 10 buah, tepat di bawahnya ada 12 buah, di bawahnya lagi ada 14, dan seterusnya. Banyak batu bata pada lapisan paling bawah ada...
a. 30
b. 32
c. 36
d. 38
Pembahasan:
Pada soal diketahui tumpukan ada 15 lapis, ini berarti jumlah n ada 15, n = 15
Batu bata pada lapis paling atas berjumlah 10, ini berarti U15 = 10
Batu bata pada lapis di bawahnya ada 12, ini berarti U14 = 12
Batu bata pada lapis di bawahnya lagi ada 14, ini berarti U13 = 14
Ditanyakan: jumlah batu bata pada lapisan paling bawah, ini berarti kita diminta mencari suku pertama atau a
U15 = 10
U14 = 12
Beda = b = U15-U14 = 10-12 = -2
Kita jabarkan U15
U15 = 10
Un = a + (n-1)b
a + (15-1).-2 = 10
a + 14.(-2) = 10
a + (-28) = 10
a = 10 + 28
a = 38 (pilihan d)
Soal 8:
Diketahui suatu barisan aritmatika. Suku pertama barisan tersebut 25 dan suku kesebelas 55. Suku ke-45 barisan tersebut adalah...
a. 157
b. 163
c. 169
d. 179
Pembahasan:
U1 = a = 25
U11 = 55
a + (11-1)b = 55
25 + 10b = 55
10b = 55-25
10b = 30
b = 30/10
b = 3
Selanjutnya, kita diminta mencari U-45
Un = a + (n-1)b
U45 = 25 + (45-1)3
= 25 + 44.3
= 25 + 132
= 157 (pilihan a)
Soal 9:
Suku ke-32 dari barisan aritmatika 83, 80, 77, 74, 71, ... adalah...
a. 176
b. 12
c. -10
d. -13
Pembahasan:
suku pertama = a = 83
Beda = b = U2-U1 = 80-83 = -3
Un = a + (n-1)b
U32 = a + (32-1)b
= 83 + 31.(-3)
= 83 + (-93)
= - 10 (pilihan c)
Soal 10:
Dalam ruang pertunjukkan, di baris paling depan tersedia 18 kursi. Baris di belakangnya selalu tersedia 1 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam ruang itu terdapat 12 baris, banyak kursi seluruhnya adalah... buah.
a. 252
b. 282
c. 284
d. 296
Pembahasan:
Pada soal diketahui:
Baris pertama jumlah kursi 18 = U1 = a = 18
Baris di belakang 1 lebih banyak = beda = b = 1
Ditanyakan: jumlah seluruh kursi dalam 1 gedung = Sn = S12 (karena ada 12 baris)
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S12 = 12/2 (2.18 + (12-1).1)
= 6 (36 + 11.1)
= 6 (36 + 11)
= 6.47
= 282 (pilihan b)
Jika pola persegi tersebut dibuat dari batang korek api, banyaknya batang korek api pada pola ke-7 adalah...
a. 40
b. 60
c. 84
d. 112
Pembahasan:
Perhatikan lompatan barisan di atas:
Jadi, banyaknya batang korek api pada pola ke-7 ada 112
Jawaban: D
2. Segitiga tersebut tersusun atas batang-batang lidi. Banyak segitiga kecil pada pola ke-7 adalah...
a. 45
b. 49
c. 54
d. 59
Pembahasan:
Perhatikan lompatan barisan bilangan di atas:
Jadi, banyak lidi pada pola ke-7 ada 84
Jawaban: A
3. Dua suku berikutnya dari pola: 4, 8 , 14, 22, adalah...
a. 30, 42
b. 30, 44
c. 32, 42
d. 32, 44
Pembahasan:
Jadi, dua suku berikutnya adalah 32 dan 44
Jawaban: D
4. Suku ke-15 dari barisan: 2, 5, 8, 11, 14, ... adalah...
a. 41
b. 44
c. 45
d. 47
Pembahasan:
Barisan di atas adalah barisan aritmatika karena memiliki beda yang konstan.
Suku pertama = a = U1 = 2
Beda = b = U2 – U1 = 5 – 2 = 3
Suku ke-15 = U15
Un = a + (n – 1) b
U15 = 2 + (15 – 1) 3
= 2 + 14 . 3
= 2 + 42
= 44
Jawaban: B
5. Suku ke-45 dari barisan bilangan: 3, 7, 11, 15, 19, ... adalah...
a. -179
b. -173
c. 173
d. 179
Pembahasan:
Barisan di atas adalah barisan aritmatika, karena memiliki beda yang sama.
Suku pertama = a = 3
Beda = b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4
Un = a + (n – 1) b
U45 = 3 + (45 – 1) 4
= 3 + 44 . 4
= 3 + 176
= 179
Jawaban: D
6. Suku ke-50 dari barisan bilangan: 20, 17, 14, 11, 8, ... adalah...
a. -167
b. -127
c. 127
d. 167
Pembahasan:
Barisan di atas merupakan barisan aritmatika, karena memiliki beda yang sama.
Suku pertama = a = 20
Beda = b = U2 – U1 = 17 – 20 = -3
Un = a + (n – 1) b
U50 = 20 + (50 – 1) -3
= 20 + 49 . (-3)
= 20 + (-147)
= -127
Jawaban: B
7. Suku ke-8 dari barisan 64, 32, 16, 8, ... adalah...
a. ½
b. 1
c. 2
d. 4
Pembahasan:
Barisan di atas adalah barisan geometri, karena memiliki rasio yang sama
Suku pertama = a = 64
Rasio =
Jawaban: A
8. Jumlah 9 suku dari 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... adalah...
a. 255
b. 256
c. 511
d. 512
Pembahasan:
Deret di atas adalah deret geometri, karena memiliki rasio yang sama
Suku pertama = a = 1
Rasio =
Jawaban: C
9. Diketahui
Nilai U20 adalah..a. 32
b. 36
c. 42
d. 46
Pembahasan:
Jawaban: A
10. Rumus suku ke-n dari pola 1, 10, 25, 46, ... adalah ...
Pembahasan:
Mari kita uji masing-masing opsi di atas:
a. Opsi A
b. Opsi B
U2 = 10 (opsi B benar)
Jawaban: B
11. Rumus suku ke-n barisan bilangan 3, 6, 12, 24, adalah...
Barisan di atas adalah barisan geometri, karena memiliki rasio yang sama.
Suku pertama = a = 3
Jawaban: B
12. Diketahui barisan bilangan 2, 4, 8, 16, ...
Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah...
Pembahasan:
Barisan tersebut adalah barisan geometri:
Suku pertama = a = 2
Jawaban: C
13. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 64, 32, 16, 8, ... adalah...
Pembahasan:
Barisan di atas adalah barisan geometri, karena memiliki rasio yang sama
Suku pertama = a = 64
Jawaban: B
14. Rumus suku ke-n dari barisan bilangan 9, 3, 1, 1/3, ... adalah...
Pembahasan:
Barisan di atas adalah barisan geometri, karena memiliki rasio yang sama.
Suku pertama = a = 9
Jawaban: C
15. Diketahui barisan aritmatika dengan U5=8 dan U9=20. Suku ke-10 adalah..
a. -31
b. -23
c. 23
d. 31
Pembahasan:
selanjutnya subtitusikan b = 3 pada persamaan a + 4b = 8
a + 4b = 8
a + 4 (3) = 8
a + 12 = 8
a = 8 – 12
a = -4
jadi, rumus Un = a + (n – 1) b akan menjadi Un = -4 + (n – 1)3
U10 = -4 + (10 – 1) 3
U10 = -4 + 9 . 3
U10 = -4 + 27
U10 = 23
Jawaban: C
16. Suku ketiga dan suku kelima dari barisan aritmatika adalah 17 dan 31. Suku ke-20 dari barisan tersebut adalah..
a. 136
b. 144
c. 156
d. 173
Pembahasan:
selanjutnya subtitusikan b = 7 pada persamaan a + 2b = 17
a + 2b = 17
a + 2 (7) = 17
a + 14 = 17
a = 17 – 14
a = 3
jadi, rumus Un = a + (n – 1) b akan menjadi Un = 3 + (n – 1)7
U20 = 3 + (20 – 1) 7
U20 = 3 + 19 . 7
U20 = 3 + 133
U20 = 136
Jawaban: A
17. Suatu barisan geometri mempunyai suku ke-2 = 8 dan suku ke-5 = 64. Suku ke-13 dari barisan geometri tersebut adalah...
Pembahasan:
subtitusikan r = 2 dalam persamaan ar =8
ar =8
a.2 = 8
2a = 8
a = 8:2
a = 4
Jawaban: D
18. Jumlah semua bilangan kelipatan 7 dari 80 sampai 170 adalah...
a. 1.368
b. 1.386
c. 1.638
d. 1.683
Pembahasan:
Bilangan kelipatan 7 merupakan barisan aritmatika dengan beda = b = 7
Kita susun dulu barisannya = 84, 91, 98, 105, ... , 168
Suku pertama = a = 84
Beda = b = 7
Kita cari dulu banyaknya suku dalam barisan tersebut (n)
Un = a + (n – 1 )b (kita gunakan suku terakhir)
168 = 84 + (n – 1) 7
168 = 84 + 7n – 7
168 = 77 + 7n
168 – 77 = 7n
91 = 7n
n = 91 : 7
n = 13
Rumus jumlah:
Jawaban: C
19. Suku ke-3 dan suku ke-7 barisan aritmatika berturut-turut 10 dan 22. Jumlah 30 suku pertama barisan tersebut adalah..
a. 1.365
b. 1.425
c. 2.730
d. 2.850
Pembahasan:
selanjutnya subtitusikan b = 3 pada persamaan a + 2b = 10
a + 2b = 17
a + 2 (3) = 10
a + 6 = 10
a = 10 – 6
a = 4
jumlah 30 suku yang pertama (S30)
Jawaban: B
20. Dalam suatu deret geometri diketahui suku ke-1 = 512 dan suku ke-4 = 64. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah...
a. 1.008
b. 1.016
c. 2.016
d. 2.028
Pembahasan:
Suku pertama = a = 512
jumlah 7 suku pertama (S7)
Jawaban: B
21. Banyak kursi pada barisan pertama di sebuah gedung pertemuan adalah 10. Banyak kursi pada barisan ke-4 adalah 80 sehingga penyusunan kursi tersebut membentuk deret geometri. Jika dalam gedung itu terdapat 5 baris kursi, banyaknya kursi dalam gedung adalah...
a. 510
b. 420
c. 320
d. 310
Pembahasan:
Penyusunan kursi di atas membentuk barisan geometri.
Suku pertama = a = 10
U4 = 80
n = 5
jumlah kursi dalam 5 baris (S5)
Jawaban: D
22. Suatu bakteri akan membelah diri menjadi dua setiap menit. Jika banyaknya bakteri semula ada 6, banyaknya bakteri setelah 5 menit adalah..
a. 48
b. 96
c. 192
d. 384
Pembahasan:
Banyak bakteri semula = a = 6
Membelah menjadi 2 = rasio = r = 2
Banyak bakteri setelah menit ke-5 (menit ke-0 juga dihitung) dapat ditentukan dengan menghitung suku ke-(5+1) = suku ke-6
Jawaban: C
23. Dalam setiap 20 menit, amoeba membelah diri menjadi dua. Jika mula-mula ada 50 amoeba, selama 2 jam banyaknya amoeba adalah...
a. 1.600
b. 2.000
c. 3.200
d. 6.400
Pembahasan:
Banyak amoeba semula = a = 50
Amoeba membelah menjadi 2 = rasio = r = 2
2 jam = 120 menit
n = 1 + (120 : 20)
n = 1 + 6
n = 7
jadi, kita cari U7
Jawaban: C
24. Seorang pegwai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah...
a. Rp7.500.000,00
b. Rp8.000.000,00
c. Rp52.500.000,00
d. Rp55.000.000,00
Pembahasan:
Gaji tahun pertama = a = 3.000.000
Tambahan gaji per tahun = b = 500.000
n = 10 tahun
Sn = n/2(2a + (n – 1)b)
S10 = 10/2(2 x 3.000.000 + (10 – 1) 500.000
= 5 (6.000.000 + 9 x 500.000)
= 5(6.000.000 + 4.500.000)
= 5 x 10.500.000
= 52.500.000
Jawaban: C
25. Amir memiliki kawat dipotong menjadi 5 bagian yang ukurannya membentuk barisan aritmatika. Jika panjang kawat terpendek 15 cm dan terpanjang 23 cm, panjang kawat sebelum dipotong adalah...
a. 85 cm
b. 90 cm
c. 95 cm
d. 100 cm
Pembahasan:
Panjang kawat membentuk barisan aritmatika
Dipotong menjadi 5 = n = 5
Panjang kawat terpendek = a = 15
Panjang kawat terpanjang = U5 = 23
Sn = n/2(a + Un)
S5 = 5/2(15 + 23)
= 5/2(38)
= 5 x 19
= 95
Jawaban: C
26. Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian sehingga membentuk deret geometri. Jika panjang potongan tali terpendek = 3 cm dan potongan tali terpanjang 96 cm, panjang tali semula adalah...
a. 198 cm
b. 189 cm
c. 179 cm
d. 168 cm
Pembahasan:
Panjang tali membentuk deret geometri
Panjang tali terpendek = a = 3
Potongan tali terpanjang = Un = U6 = 96
Jumlah potongan = n = 6
Panjang tali semula = Sn = S6
Kita cari terlebih dulu rasio atau r
Jawaban: B
A. U10 = 100
B. U10 = 85
C. U10 = 80
D. U10 = 75
E. U10 = 70
Pembahasan :
Dik : a = 40, b = 5
Dit : U10 = .... ?
Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda barisan, dan suku ke-n dinyatakan dengan rumus berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Karena a, b, dan n sudah diketahui, maka diperoleh :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ U10 = 40 + (10 - 1)5
⇒ U10 = 40 + 9.5
⇒ U10 = 40 + 45
⇒ U10 = 85
Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 85.
Contoh 2 : Dua Suku Sebarang Diketahui
Jika suku keempat dan suku kesembilan suatu barisan aritmatika adalah 14 dan 29, maka suku ke-100 barisan tersebut adalah ....A. U100 = 306
B. U100 = 302
C. U100 = 300
D. U100 = 284
E. U100 = 268
Pembahasan :
Dik : U4 = 14, U9 = 29
Dit : U100 = .... ?
Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U4 = 14
⇒ a + (4 - 1)b = 14
⇒ a + 3b = 14
⇒ a = 14 - 3b .... (1)
Persamaan untuk suku kesembilan :
⇒ U9 = 29
⇒ a + (9 - 1)b = 29
⇒ a + 8b = 29 .... (2)
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a + 8b = 29
⇒ (14 - 3b) + 8b = 29
⇒ 14 + 5b = 29
⇒ 5b = 29 - 14
⇒ 5b = 15
⇒ b = 3
Substitusi nilai b ke persamaan (1) :
⇒ a = 14 - 3b
⇒ a = 14 - 3.3
⇒ a = 14 - 9
⇒ a = 5
Suku ke-100 barisan tersebut :
⇒ U100 = a + (100 - 1)b
⇒ U100 = a + 99b⇒ U100 = 5 + 99(3)
⇒ U100 = 5 + 297
⇒ U100 = 302
Jadi, suku ke-100 barisan tersebut adalah 302.
Contoh 3 : Jumlah n Suku Pertama Diketahui
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 2n2 + 5n, maka suku ke-4 deret tersebut adalah ....A. U4 = 46
B. U4 = 32
C. U4 = 24
D. U4 = 19
E. U4 = 15
Pembahasan :
Dik : Sn = 2n2 + 5n
Dit : U4 = ... ?
Suku pertama deret tersebut sama dengan jumlah 1 suku pertamanya :
⇒ a = U1 = S1
⇒ a = 2(1)2 + 5(1)
⇒ a = 2 + 5
⇒ a = 7
Jumlah 2 suku pertama (a + U2) adalah sebagai berikut :
⇒ a + U2 = S2
⇒ 7 + U2 = 2(2)2 + 5(2)
⇒ 7 + U2 = 8 + 10
⇒ 7 + U2 = 18
⇒ U2 = 18 - 7
⇒ U2 = 11
Karena a dan U2 diketahui, maka beda barisa tersebut adalah :
⇒ b = U2 - a
⇒ b = 11 - 7
⇒ b = 4
Dengan demikian, suku keempatnya adalah :
⇒ U4 = a + (4 - 1)b
⇒ U4 = a + 3b
⇒ U4 = 7 + 3.4
⇒ U4 = 7 + 12
⇒ U4 = 19
Jadi, suku keempat deret tersebut adalah 19.
Contoh 4 : Suku Pasangan Terbalik Diketahui
Jumlah 12 suku pertama suatu deret aritmatika adalah 1.230. Jika suku kesepuluh deret tersebut adalah 155, maka suku ketiga deret itu sama dengan ....A. U3 = 50
B. U3 = 65
C. U3 = 70
D. U3 = 80
E. U3 = 95
Pembahasan :
Dik : n = 12, Sn = 1.230, U10 =155
Dit : U3 = .... ?
Rumus jumlah n suku pertama diperoleh dengan cara menjumlahkan suku barisan aritmatika awal dengan suku urutan terbalik deret tersebut. Dalam hal ini (jika jumlah sukunya 12), maka suku pertama dijumlahkan dengan suku terkahir, suku kedua dijumlahkan dengan suku ke-11, dan suku ketiga dijumlahkan dengan suku ke-10.
Masud suku 'terbalik' disini adalah urutan suku yang dibalik :
Urutan awal : U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9, U10, U11, U12
Urutan terbalik : U12, U11, U10, U9, U8, U7, U6, U5, U4, U3, U2, U1
Jika dinyatakan dalam a dan Un, maka rumus jumlah n suku pertama ditulis :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
Pada soal ini, yang dimaksud suku pertama adalah U1 dan suku terakhir adalah U12. Jika nomor suku tersebut dijumlahkan (1 + 12 = 13), maka akan diperoleh nilai 13. Nah, jika nomor suku ke-3 dan suku ke-10 dijumlahkan (3 + 10 = 13), maka juga dihasilkan nilai 13.
Jika dijumlahkan, jumlah suku pertama dan suku terakhir (a + Un) akan sama hasilnya dengan jumlah suku ketiga dan suku kesepuluh (U3 + U10), dengan demikian berlaku :
⇒ a + Un = U3 + U10
Dengan demikian, rumus jumlah n suku pertama di atas, dapat kita ubah menjadi :
⇒ Sn = n/2 (U3 + U10)
⇒ 1.230 = 12/2 (U3 + 155)
⇒ 1.230 = 6 (U3 + 155)
⇒ 1.230 = 6U3 + 930
⇒ 6U3 = 1.230 - 930
⇒ 6U3 = 300
⇒ U3 = 50
Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 50.
Contoh 5 : Diketahui Beberapa Suku
Diberikan sebuah barisan aritmatika sebagai berikut : 30, 28, 26, 24, .... Suku ke-50 barisan tersebut adalah .....A. U50 = -68
B. U50 = -64
C. U50 = -24
D. U50 = 24
E. U50 = 64
Pembahasan :
Dik : a = 30, b = 28 - 30 = -2
Dit : U50 = .... ?
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ U50 = 30 + (50 - 1)(-2)
⇒ U50 = 30 + 49(-2)
⇒ U50 = 30 - 98
⇒ U50 = -68
Jadi, suku kelimapuluh barisan tersebut adalah -68.
Contoh 1: Beda dan Suku Pertama Diketahui Suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 40. Jika selisih antara setiap dua suku yang berurutan (berdekatan) adalah 6, maka rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n adalah ....
A. Un = 6n + 34
B. Un = 6n + 46
C. Un = 4n + 46
D. Un = 4n + 34
E. Un = 6n - 34
Pembahasan :
Dik : a = 40, b = 6
Dit : Un = .... ?
Sesuai dengan konsep barisan aritmatika, hubungan antara suku pertama, beda, dan suku ke-n dapat dinyatakan dengan rumus berikut :
⇒ Un = a + (n - 1)b
Jika nilai a dan b disubstitusi, maka kita peroleh persamaan :
⇒ Un = 40 + (n - 1)6
⇒ Un = 40 + 6n - 6
⇒ Un = 6n + 40 - 6
⇒ Un = 6n + 34
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 6n + 34.
Contoh 2 : Rumus Jumlah n Suku Pertama (Sn) Diketahui
Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 5n2 - 7n, maka rumus suku ke-n deret tersebut sama dengan .....A. Un = 10n + 12
B. Un = 10n − 12
C. Un = 10n + 2
D. Un = 10n − 2
E. Un = 10n − 1
Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 - 7n
Dit : Un = .... ?
Sesuai dengan konsep barisan aritmatika yang telah dibahas pada artikel sebelumnya, hubungan antara suku ke-n dengan jumlah n suku pertama dan jumlah n-1 suku pertama adalah sebagai berikut :
⇒ Un = Sn − Sn-1
Jumlah n-1 suku pertama (Sn-1) diperoleh dengan mensubstitusi n = n - 1 ke rumus Sn yang diberikan dalam soal sebagai berikut :
⇒ Sn-1 = 5(n - 1)2 - 7(n - 1)
⇒ Sn-1 = 5(n2 - 2n + 1) - 7n + 7
⇒ Sn-1 = 5n2 - 10n + 5 - 7n + 7
⇒ Sn-1 = 5n2 - 17n + 12
Rumus suku ke-n :
⇒ Un = Sn − Sn-1
⇒ Un = 5n2 - 7n − (5n2 - 17n + 12)
⇒ Un = 5n2 − 5n2 - 7n + 17n − 12
⇒ Un = 10n − 12
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah 10n - 12.
Contoh 3 : Jumlah n Suku Pertama Diketahui
Sebuah deret aritmatika terdiri dari 5 suku. Jika jumlah deret tersebut adalah 50 dan suku pertama adalah 2, maka rumus suku ke-n deret tersebut dalam variabel n adalah ....A. Un = 4n + 6B. Un = 4n + 4
C. Un = 4n + 2
D. Un = 4n - 2
E. Un = 4n - 6
Pembahasan :
Dik : n = 5, a = 2, Sn = 50
Dit : Un = .... ?
Berdasarkan rumus jumlah n suku pertama, hubungan antara banyak suku, suku pertama, dan beda dapat dinyatakan sebagai berikut :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
Dengan rumus tersebut, kita dapat menentukan beda barisan :
⇒ 50 = 5/2 {2.2 + (5 - 1)b}
⇒ 50 = 5/2 (4 + 4b)
⇒ 100 = 5(4 + 4b)
⇒ 100 = 20 + 20b
⇒ 100 - 20 = 20b
⇒ 20b = 80
⇒ b = 4
Karena nilai a dan b sudah diketahui, maka rumus suku ke-n menjadi:
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)4
⇒ Un = 2 + 4n - 4
⇒ Un = 4n - 2
Jadi, rumus suku ke-n deret tersebut adalah 4n - 2.
Contoh 4 : Diketahui Dua Suku Sebarang
Diketahui suku keempat dan suku kesepuluh suatu barisan aritmatika adalah 11 dan 29. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ....A. Un = 3n - 1
B. Un = 3n + 1
C. Un = 3n + 5
D. Un = 3n - 5
E. Un = 3n + 3
Pembahasan :
Dik : U4 = 11, U10 = 29
Dit : Un = ... ?
Persamaan untuk suku keempat :
⇒ U4 = 11
⇒ a + 3b = 11
⇒ a = 11 - 3b .... (1)
Persamaan untuk suku kesepuluh :
⇒ U10 = 29
⇒ a + 9b = 29 ... (2)
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a + 9b = 29
⇒ (11 - 3b) + 9b = 29
⇒ 11 + 6b = 29
⇒ 6b = 29 - 11
⇒ 6b = 18
⇒ b = 3
Substitusi nilai b = 3 ke persamaan (1)
⇒ a = 11 - 3b
⇒ a = 11 - 3.3
⇒ a = 11 - 9
⇒ a = 2
Nilai a dan b sudah diperoleh, maka rumus suku ke-n menjadi :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 2 + (n - 1)3
⇒ Un = 2 + 3n - 3
⇒ Un = 3n - 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n - 1.
Contoh 5 : Diketahui Beberapa Suku
Diketahui suatu barisan aritmatika : 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, .... Rumus suku ke-n barisan tersebut dalam variabel n adalah .....A. Un = 4n + 18
B. Un = 4n + 10
C. Un = 4n + 8
D. Un = 4n - 10
E. Un = 4n + 18
Pembahasan :
Dik : a = 14, b = 18 - 14 = 4
Dit : Un = ... ?
Karena a dan b sudah diketahui, maka :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = 14 + (n - 1)4
⇒ Un = 14 + 4n - 4
⇒ Un = 4n + 10
Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 4n + 10.
B. 1.950 buah
C. 1.900 buah
D. 1.875 buah
E. 1.825 buah
Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U₁ = 50 + 25(1) = 75
U₁₀ = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S₁₀ = 10/2 (75 + 300)
= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
(JAWABAN: D)
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
A. Rp7.500.000,00
B. Rp8.000.000,00
C. Rp52.500.000,00
D. Rp55.000.000,00
Gaji awal (a) = 3.000.000
Kenaikan gaji (b) = 500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji selama 10 tahun (S₁₂).
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000
Jadi, Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00
(JAWABAN: C)
B. 8,0 m
C. 8,2 m
D. 9,0 m
Besi terpendek (a) = 1,2
Besi terpanjang (U₅) = 2,4
Ditanyakan:
Panjang besi sebelum dipotong (S₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (a + Un)
S₅ = 5/2 (1,2 + 2,4)
S₅ = 5/2 (3,6)
S₅ = 5(1,8)
S₅ = 9,0
Jadi, panjang besi sebelum dipotong adalah 9,0 meter.
(JAWABAN: D)
Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah ....
A. 385
B. 555
C. 1.110
D. 1.140
Banyak barisan kursi (n) =15
Banyak kursi baris pertama (a) = 23
Beda tiap baris kursi (b) = 2
Ditanyakan:
Jumlah kursi (S₁₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₅ = (15/2) (2.23 + (15 - 1)2)
S₁₅ = (15/2) (46 + 28)
S₁₅ = (15/2)(74)
S₁₅ = 15 . 37
S₁₅ = 555
Jadi, jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah 555 kursi.
(JAWABAN: B)
Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....
A. 54 buah
B. 52 buah
C. 40 buah
D. 38 buah
Banyak kursi baris pertama (U₁) = 14
Banyak kursi baris kedua (U₂) = 16
Ditanyakan:
Banyak kursi pada baris ke 20 (U₂₀)
Penyelesaian:
Beda (b) = U₂ - U₁
= 16 - 14
= 2
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 14 + (20 - 1).2
U₂₀ = 14 + (19).2
U₂₀ = 14 + 38
U₂₀ = 52
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 52 buah.
(JAWABAN: B)
Keuntungan sampai bulan ke-4 (S₄) = 30ribu rupiah
Keuntungan sampai bulan ke-8 (S₈) = 172ribu rupiah
Ditanyakan:
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
Keuntungan sampai bulan keempat (S₄):
S₄ = 4/2 (2a + (4 - 1)b)
<=> 30.000 = 2(2a + 3b)
<=> 15.000 = 2a + 3b ........(1)
Keuntungan sampai bulan kedelapan (S₈):
S₈ = 8/2 (2a + (8 - 1)b)
<=> 172.000 = 4(2a + 7b)
<=> 43.000 = 2a + 7b ........(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 7b = 43.000 -
<=> -4b = -28.000
<=> b = -28.000/-4
<=> b = 7.000
Subtitusi nilai b = 7.000 ke persamaan (1) diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 3(7.000) = 15.000
2a + 21.000 = 15.000
2a = 15.000 - 21.000
2a = -6.000
a = -6.000/2
a = -3.000
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈)
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₈ = 18/2 (2(-3.000) + (18 - 1).7000)
S₁₈ = 9(-6.000 + 119.000)
S₁₈ = 9(113.000)
S₁₈ = 1.017.000
Jadi, keuntungan sampai bulan ke-18 adalah 1.017 ribu rupiah.
(JAWABAN: A)
Produksi bulan pertama (a) = 100 ton
Kenaikan produksi (b) = 5 ton
Ditanyakan:
Jumlah produksi selama 1 tahun (S₁₂)
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₂ = 6(200 + 55)
S₁₂ = 6(255)
S₁₂ = 1.530
Jadi, Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah 1.530 ton.
(JAWABAN: D)
B. Rp1.320.000,00
C. Rp2.040.000,00
D. Rp2.580.000,00
E. Rp2.640.000,00
Pembahasan:
➧ Suku Pertama (a) = 50 (dalam ribuan)
➧ Beda (b) = 5 (dalam ribuan)
➧ Besar tabungan dalam 2 tahun (24 bulan)
Sn = n/₂ (2a a + (n - 1)b)
Sn = ²⁴/₂ (2(50) + (24 - 1)5)
Sn = 12 (100 + (23)5)
Sn = 12 (100 + 115)
Sn = 12 (215)
Sn = 2.580
Jadi, besar tabungan anak tersebut selama 2 tahun adalah Rp.2.580.000,00
(Jawaban: D)
② UN Matematika Tahun 2006
Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmatika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah...
A. 95 tahun
B. 105 tahun
C. 110 tahun
D. 140 tahun
E. 145 tahun
Pembahasan:
➧ Usia si Bungsu 15 tahun
10 Tahun kemudian (U₁) = 15 + 10 = 25 Tahun
➧ Usia si Sulung 23 tahun
10 Tahun kemudian (U₅) = 23 + 10 = 33 Tahun
➧ Jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang (S₁₀)
Sn = n/₂ (a + Un)
S₅ = ⁵/₂ (25 + 33)
S₅ = ⁵/₂ (58)
S₅ = 145
Jadi, jumlah usia kelima orang tersebut 10 tahun yang akan datang adalah 145 tahun
(Jawaban: D)
③ UN Matematika Tahun 2007
Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah...
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
➧ U₃ = 36
a + 2b = 36
a = 36 - 2b .............(1)
➧ U₅ + U₇ = 144
(a + 4b) + (a + 6b) = 144
2a + 10b = 144
a + 5b = 72 .............(2)
➧ Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh:
(36 - 2b) + 5b = 72
36 + 3b = 72
3b = 72 - 36
3b = 36
b = 12
➧ Subtitusi nilai b = 12 ke persamaan (1) diperoleh:
a = 36 - 2(12)
a = 36 - 24
a = 12
➧ Jumlah sepuluh suku pertama (S₁₀)
S₁₀ = ¹⁰/₂ (2(12) + (10 - 1)12)
S₁₀ = 5(24 + (9)12)
S₁₀ = 5(24 + 108)
S₁₀ = 5(132)
S₁₀ = 660
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 660
(Jawaban: B)
④ UN Matematika Tahun 2009
Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U₃ + U₉ + U₁₁ = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U₄₃ = ...
A. 218
B. 208
C. 134
D. 132
E. 131
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₃ = a + 2b
U₉ = a + 8b
U₁₁ = a + 10b
➧ U₃ + U₉ + U₁₁ = 75
(a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75
3a + 20b = 75 ...........(1)
➧ Karena banyak suku barisan tersebut 43, maka:
Suku tengah = suku ke (43 + 1)/2
= suku ke 22
U₂₂ = 68
a + 21b = 68
3a + 63b = 204
3a = 204 - 63b ........(2)
➧ Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1) diperoleh:
(204 - 63b) + 20b = 75
204 - 43b = 75
43b = 204 - 75
43b = 129
b = 3
➧ Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:
3a + 20(3) = 75
3a + 60 = 75
3a = 75 - 60
3a = 15
a = 5
➧ Suku ke 43
U₄₃ = a + 42b
= 5 + 42(3)
= 5 + 126
= 131
Jadi, U₄₃ adalah 131
(Jawaban: E)
⑤ UN Matematika Tahun 2010
Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ...
A. 10
B. 19
C. 28,5
D. 55
E. 82,5
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₂ = a + b
U₁₅ = a + 14b
U₄₀ = a + 39b
U₁₉ = a + 18b
➧ U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165
(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b = 165
3(a + 18b) = 165
3(U₁₉) = 165
U₁₉ = 55
Jadi, U₁₉ = 55
(Jawaban: D)
Perhatikan pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke 6!
Pembahasan
Jika diterjemahkan dalam bilangan, pola di atas sebagai berikut:
3, 6, 10, 15,….
Kelihatan polanya:
Sehingga berturut-turut hingga pola ke-6:
3, 6, 10, 15, 21, 28
Jadi pola ke-6 ada 28 lingkaran.
Soal No. 2
Perhatikan pola bilangan berikut!
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85,….., …..,
Tentukan bilangan ke-9 dan ke-10 dari pola di atas!
Pembahasan
Jika diperhatikan, sebenarnya terdapat dua buah pola bilangan yang diselang-seling.
2, 4, 7, 11, ….
+2, +3, + 4, +5 dst
100, 95, 90, 85,….
-5, -5, -5, -5, dst
Jadi
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85, 16, 80
Soal No. 3
Perhatikan gambar pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50!
Pembahasan
Pola bilangan persegipanjang. Perhatikan pola bilangannya:
Sehingga untuk pola ke-50:
arah ke kanan : 50 + 3 = 53
arah ke atas : 50 + 1 = 51
Jadi banyaknya lingkaran pada pola ke-50 adalah = 53 × 51 = 2703 lingkaran.
Soal No. 4
Perhatikan gambar pola berikut!
Banyak lingkaran pada pola ke-10 adalah….
A. 90 buah
B. 110 buah
C. 120 buah
D. 132 buah
(Un mtk smp 08)
Pembahasan
Senada dengan soal nomor 3, diperoleh untuk pola ke-10:
ke atas = 10 + 0
ke kanan = 10 + 1
Sehingga banyak lingkaran = 10 × 11 = 110 lingkaran
Soal No. 5
Sekelompok burung terbang di udara dengan formasi membentuk deret aritmetika sebagai berikut.
Barisan pertama terdiri satu ekor burung.
Barisan kedua terdiri tiga ekor burung
Barisan ketiga terdiri lima ekor burung
Barisan keempat terdiri tujuh ekor burung.
Jika jumlah barisan dalam formasi tersebut ada 10 tentukan:
a) Jumlah burung pada barisan terakhir
b) Jumlah semua burung yang ada dalam kelompok tersebut
Pembahasan
Barisan yang terbentuk adalah: 1, 3, 5, 7, …
Suku pertama a = 1
Beda b = 3 − 1 = 2
a) Jumlah burung pada barisan terakhir
Barisan terakhir berarti n = 10 menentukan suku ke -10 atau U10:
Un = a + (n − 1)b
U10 = 1 + (10 − 1)2
U10 = 1 + 9 × 2 = 1 + 18 = 19 burung
b) Jumlah semua burung yang ikut ada dalam kelompok tersebut
Jumlah 10 suku pertama, n = 10, mencari S10
Sn = n/2 [2a + (n − 1)b]
S10 = 10/2 [2×1 + (10 − 1)2]
S10 = 5 [2 + 18] = 5× 20 = 100 burung
Soal No. 6
Diberikan sebuah barisan:
4, 12, 20, 28,…
Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas!
Pembahasan
a = 1
b = 12 − 4 = 8
n = 40
Un = a + (n − 1)b
U40 = 4 + (40 − 1)8
U40 = 4 + 312 = 316
Soal No. 7
Diberikan sebuah deret:
−10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + ….
Tentukan suku ke-17
Pembahasan
a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17
Un = a + (n−1)b
U17 = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54
Soal No. 8
Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,…adalah….
A. –27
B. –21
C. –15
D. –9
(UN Matematika SMP 2008)
Pembahasan
99, 93, 87, 81,…
a = 99
b = 93 − 99 = −6
Un = a + (n −1)b
Un = 99 + (22 − 1)(−6)
Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27
Soal No. 9
Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah….
A. 80
B. 70
C. 60
D. 50
(UN Matematika SMP 2009)
Pembahasan
U9 = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144
U7 = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64
U9 − U7 = 144 − 64 = 80
Soal No. 10
Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah….
A. 24, 15
B. 24, 16
C. 25, 17
D. 25, 18
(UN Matematika SMP 2010)
Pembahasan
Perhatikan polanya adalah sebagai berikut:
50, 45, 39, 32, ….., ……
_____ _____ _____ ______ ______
− 5 −6 −7 −8 −9
Sehingga suku berikutnya adalah 32 − 8 = 24 dan 24 − 9 = 15
Soal No. 11
Diketahui suku ke 4 dari suatu deret aritmetika adalah 24 dan suku ke-9 adalah 44. Tentukan suku ke-21 dari deret tersebut!
Pembahasan
Un = a + (n − )b
Untuk suku ke-4
U4 = a + (4 − 1)b
24 = a + 3b ….persamaan (1)
Untuk suku ke-9
U9 = a + (9 − 1)b
44 = a + 8b ….persamaan (2)
Gabungkan persamaan (2) dan (1)
Soal No. 12
Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut. 
Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8!
Pembahasan
Dari:
3, 6, 9,…
a = 3
b = 3
U8 =……
Un = a + (n − 1)b
U8 = 3 + (8 − 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata
Soal No. 13
Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Pembahasan
Data:
U4 + U7 = 81
U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b)
U4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U1 = a = 18
Soal No. 14
Suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8!
Pembahasan
Data :
U1 = a = 2
U6 = a + 5b
U4 = a + 3b
U6 − U4 = 14
a + 5b −(a + 3b) = 14
2b = 14
b = 14/2 = 7
Sehingga suku ke-8
U8 = a + 7b
U8 = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51
Soal No. 15
Perhatikan pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50!
Pembahasan
Seperti soal nomor 1, namun untuk pola yang ke 50, tentunya tidak dengan dijumlahkan satu-satu sampai 50 kali, tapi dengan cara lain.
Cara Pertama
Perhatikan ilustrasi berikut,
Kelihatan:
1 + 2 (Pola 1, ada 2 suku, terakhirnya angka 2)
1 + 2 + 3 (Pola 2, ada 3 suku, terakhirnya angka 3)
1 + 2 + 3 + 4 (Pola 3, ada 4 suku, terakhirnya angka 4)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 (Pola 4, ada 5 suku, terakhirnya angka 5)
dan seterusnya, sehingga untuk banyak lingkaran yang ada pada pola ke-50 dengan mengikuti pola di atas:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +………+ 51 (Pola 50, ada 51 suku, terakhirnya angka 51)
Pada pola ke-50 ini terbentuk deret aritmetika, ada 51 suku:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..,51
Jadi datanya:
a = 1
b = 1
n = 51
diperoleh rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh:
Jumlah lingkaran pada pola ke 50 ada 1326 lingkaran.
Cara Kedua
Pisahkan tiap pola jadi dua bagian, atas dan bawah, gambar seperti berikut:
Pada bagian atas, diperoleh angka 1, 3, 6, 10,…..dst. Angka-angka ini memenuhi pola bilangan segitiga yang memiliki rumus pola ke-n:
Sehingga untuk pola atau suku ke-50 pada bagian atasnya saja, terdapat lingkaran sebanyak
Pada bagian bawah terlihat pola rumusnya tinggal ditambah 1 atau n + 1, jadi untuk pola ke 50 bagian bawahnya ada 50 + 1 = 51 lingkaran.
Jumlahkan bagian atas dengan bagian bawah tadi untuk memperoleh banyak lingkaran pada pola ke 50:
= 1275 + 51
= 1326 lingkaran.
Cara Ketiga
Jika dilihat deret : 3, 6, 10,… seperti deret 1, 3, 6, 10,… juga namun tanpa angka 1 (dihilangkan suku pertamanya) sehingga saat ditanya pola ke 50 untuk 3, 6, 10,… akan sama hasilnya dengan saat mencari suku ke 51 untuk untuk 1, 3, 6, 10,…
Sehingga:
Soal No. 1
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
Un = arn −1
dimana
a = suku pertama
r = rasio
Dari soal
a = 3
r = 6/3 = 2
sehingga
Un = arn−1
U5 = 3 (2)5 −1 = 3 (2)4 = 3(16) = 48
Soal No. 2
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!
Pembahasan
Data dari soal di atas
U5 = 324
a = 4
Dari Un = arn −1
Dengan demikian rasionya adalah 3 atau − 3
Soal No. 3
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ….
Tentukan U3 + U5
Pembahasan
U3 = 3
a = 12
r = 6/12 = 1/2
Un = arn −1
U5 = 12(1/2)5 −1 = 12(1/2)4 = 12(1/16) = 12/16 = 3/4
Sehingga
U3 + U5 = 3 + 3/4 = 3 3/4
Soal No. 4
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Pembahasan
Data:
a = 3
r = 6/3 = 2
S7 =….
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1
Sehingga:
Soal No. 5
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +…
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!
Pembahasan
Data:
a = 24
r = 12/24 = 1/2
S7 =….
Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1
Sehingga:
Komentar
Posting Komentar