25 BARISAN DAN DERET BILANGAN

Soal 1

Tentukan tiga bilangan selanjutnya dari barisan bilangan

1, 4, 16, 64, 256, …

Jawab:

Barisan yang kita punya yaitu

1, 4, 16, 64, 256,…

Karena kita disuruh tentukan tiga bilangan selanjutnya, maka kita akan misalkan tiga bilangan tersebut dengan a, b dan c sebagai berikut.

1, 4, 16, 64, 256, a, b, c

Oleh karena

Maka:

a = 256 x 4 = 1024

b = 1024 x 4 = 4096

c = 4096 x 4 = 16384

Dengan demikian, tiga bilangan selanjutnya adalah 1024, 4096 dan 16384.

Soal 2

Perhatikan barisan bilangan berikut ini!

3, 6, 12, 24, x, 96, y

Nilai x dan y berturut-turut adalah…

Jawab:

Pertama-tama kita tentukan pola yang terbentuk dari barisan bilangan tersebut. Perhatikan gambar berikut.

Karena polanya telah kita peroleh, maka dengan mudah akan kita tentukan nilai x dan y.

x = 24 x 2 = 48

y = 96 x 2 = 192

Jadi nilai x dan y berturut-turut adalah 48 dan 192.

Soal 3

Perhatikan barisan gambar berikut.

Gambar di atas dibentuk dari batang-batang korek api. Jika Rima ingin membuat gambar ke-10, banyak batang korek api yang diperlukan … batang.

Jawab:

Mari kita perhatikan kembali gambar di atas.

Pada gambar ke-1 tersusun atas 4 batang korek api

Pada gambar ke-2 tersusun atas 12 batang korek api

Pada gambar ke-3 tersusun atas 24 batang korek api

Agar kita dapat mengetahui banyak korek api pada gambar ke-10, kita harus mengetahui pola yang terbentuk dari ketiga gambar tersebut.

Gambar ke-1 = 4 = 2(1²) + 2(1)

Gambar ke-2 = 12 = 2(2²) + 2(2)

Gambar ke-3 = 24 = 2(3²) + 2(3)

Dari ketiga pola yang telah kita tentukan maka pola gambar ke-n :

Gambar ke-n = 2(n²) + 2(n) 

Dengan demikian pola gambar ke-10 adalah:

Gambar ke-10 = 2(10²) + 2(10)

= 2(100) + 20

= 200 + 20

= 220

Soal 4

Perhatikan gambar berikut ini!

Banyak noktah pada gambar ke-20 adalah…

Jawab:

Informasi yang kita peroleh dari gambar di atas yaitu:

Gambar ke-1 banyak noktah adalah 2

Gambar ke-2 banyak noktah adalah 6

Gambar ke-3 banyak noktah adalah 12

Gambar ke-4 banyak noktah adalah 20

Agar kita dapat mengetahui banyak noktah pada gambar ke-20, kita harus mengetahui pola yang dibentuk dari keempat gambar di atas.

Gambar ke-1 = 2 = 1² +  1

Gambar ke-2 = 6 = 2² + 2

Gambar ke-3 = 12 = 3² + 3

Gambar ke-4 = 20 = 4² + 4

Gambar ke-n  = n² + n

Karena kita telah mengetahui pola yang dibentuk dengan mencari pola pada gambar ke-n maka dengan mudah kita akan tentukan banyak noktah pada gambar ke-20

Gambar ke-20 = 20² + 20 

= 400 + 20

= 420

Soal 5

Jika diketahui rumus suku ke-n suatu barisan adalah n²- n, tentukan empat suku pertamanya!

Jawab:

Un = n² - n  +  = 27 

Suku pertama = U₁ = 1² - 1 = 0

Suku kedua = U₂ = 2² - 2 = 2

Suku ketiga = U₃ = 3² - 3 = 6

Suku keempat = U₄ = 4² - 4 = 12

Jadi, empat suku pertama barisan tersebut yaitu 0, 2, 6, 12.

Soal 6

Diketahui Un = 2n² - 5. Nilai dari U₄ + U₅ adalah…

Jawab:

Karena Un = 2n² - 5 

Maka kita dengan mudah menentukan U₄ dan U₅.

U₄ = 2(4²) – 5 = 2(16) – 5 = 32 – 5 =27

U₅ = 2(5²) – 5 = 2(25) – 5 = 50 – 5 = 45

Dengan demikian

U₄ + U₅ = 27 + 45 = 72

Soal 7

Rumus suku ke-n barisan bilangan 2,6,10,14,18,… adalah…

Jawab:

Suku ke-1 = U₁ = 2 = 2(2.1 – 1)

Suku ke-2 = U₂ = 6 = 2(2.2 – 1) = 

Suku ke-3 = U₃ = 10 = 2(2.3 – 1)

Suku ke-4 = U₄ = 14 = 2(2.4 – 1)

Suku ke-5 = U₅ = 18 = 2(2.5 – 1) …

Dengan demikian,

Suku ke-n = Un = 2(2.n – 1) = 4n – 2 

Soal 8

Perhatikan barisan bilangan berikut.

0, 3, 8, 15, 24, … 

Bilangan 728 merupakan suku ke berapa dari barisan bilangan tersebut.

Jawab:

Suku ke-1 = U₁ = 0 = 1² - 1 

Suku ke-2 = U₂ = 3 = 2² - 1

Suku ke-3 = U₃ = 8 = 3² - 1

Suku ke-4 = U₄ = 15 = 4² - 1

Suku ke-5 = U₅ = 24 = 5² - 1 …

Suku ke-n = Un  = n² - 1

Bilangan 728 merupakan suku ke berapa?

Kita misalkan bilangan 728 merupakan suku ke-x   maka:₀

Ux = x² - 1 

728 = x² - 1

x² = 728 + 1

x² = 729

x = √(729) = 27

Jadi, bilangan 728 merupakan suku ke-27.

Soal 9

Diketahui barisan bilangan 4, 9, 14, 19, 24, … Besar suku ke-100 barisan bilangan tersebut adalah…

Jawab:

Suku ke-1 = U₁ = 4 = 4.1 + 0 

Suku ke-2 = U₂ = 9 = 4.2 + 1

Suku ke-3 = U₃ = 14 = 4.3 + 2

Suku ke-4 = U₄ = 19 = 4.4 + 3

Suku ke-5 = U₅ = 24 = 4.5 + 4 …

Suku ke-n = Un  = 4.n + (n-1) = 4n + n – 1 = 5n – 1 

Karena Un = 5n – 1 maka

U₁₀₀ = 5(100) – 1 = 500 – 1 = 499

Soal 10

Perhatikan barisan bilangan berikut ini.

3, 7, 11, 15, …, 79, 83

Banyak suku pada barisan bilangan tersebut adalah…

Jawab:

Suku ke-1 = U₁ = 3  

Suku ke-2 = U₂ = 7

Suku ke-3 = U₃ = 11

Suku ke-4 = U₄ = 15

Akan kita tentukan suku ke-n dari keempat informasi di atas dengan mencari polanya terlebih dahulu. 

Suku ke-1 = U₁ = 3 = 3.1 +  1 – 1  

Suku ke-2 = U₂ = 7 = 3.2 + 2 – 1 

Suku ke-3 = U₃ = 11 = 3.3 + 3 – 1 

Suku ke-4 = U₄ = 15 = 3.4 + 4 – 1 

Suku ke-n = Un = 3.n + n – 1  = 4n – 1

Karena kita belum mengetahi berapa banyak suku dari barisan tersebut, maka kita misalkan bilangan 83 merupakan suku ke-n. Dengan demikian kita dapat menentukan banyak suku (n) pada barisan bilangan tersebut.

Un = 83

4n – 1 = 83

4n = 84

n = 21

Jadi, banyak suku pada barisan tersebut adalah 21.

Soal 11

Tentukan rumus suku ke-n pada barisan aritmetika 10, 18, 26, 34,…

Jawab:

Pertama-tama yang perlu kita lakukan yaitu mencari suku pertama dan beda.

Dari soal dapat kita ketahui suku satu (a) adalah 10

Beda = suku ke dua – suku ke satu

= 18 – 10 = 8

Selanjutnya, dengan mudah akan kita tentukan suku ke-n

Un = a + (n – 1)b

= 10 + (n – 1)8

= 10 + 8n – 8 

= 8n + 2 

Soal 12

Tentukan jumlah deret aritmetika berikut.

10 + 17 + 24 + 31 + … + 115

Jawab:

Dari soal akan kita peroleh:

U₁ = a = 10

Karena barisan tersebut barisan aritmetika maka selisih antara dua suku barisan yang berurutan mempunyai nilai yang selalu tetap atau sama.

b = U₂ - U₁ = 17 – 10 = 7 

Un = 115

Sedangkan, kita diperintahkan untuk mencari jumlah dari deret tersebut.

Namun, sebelumnya kita harus mencari berapa banyak suku pada barisan tersebut.

Un = a + (n – 1)b

115 = 10 + (n – 1)7

115 = 10 + 7n – 7 

115 = 7n + 3

7n = 112

n = 16

Setelah kita dapatkan nilai n, selanjutnya kita cari jumlah deret tersebut.

Sn = (n/2) (U₁ + Un) 

= (16/2) (10 + 115)

= (8)(125) = 1000

Jadi, jumlah deret aritmetika tersebut adalah 1000.

Soal 13

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U₂ = 6 dan U₇ = 31. Suku ke-40 adalah…

Jawab:

Un = a + (n – 1)b

U₂ = a + (2 – 1)b 

6 = a + b 

a = 6 – b …. Pers 1

U₇ = a + (7 – 1)b

31 = a + 7b – b

31 = a + 6b … Pers 2

Substitusi pers 1 ke dalam pers 2

a + 6b = 31

(6 – b) + 6b = 31

6 + 5b = 31

5b = 25

b = 5

Substitusi b = 5 ke dalam pers 1

a = 6 – b

a = 6 – 5 

a = 1

Seanjutnya kita cari U₄₀ dengan mensubstitusi a = 1 dan b = 5 ke dalan U₄₀ = a + 39b.

U₄₀ = a + 39b

= 1 + 39(5)

= 1 + 195 = 196

Jadi, suku ke-40 adalah 196.

Soal 14

Diketahui barisan aritmetika dengan U₁ = 3 dan U₈ = 24. Beda pada barisan aritmetika tersebut adalah…

Jawab:

U₁ = 3

a = 3

U₈ = 24

a + (n – 1)b = 24

3 + (8 – 1)b = 24

3 + 7b = 24

7b = 21

b = 3

Jadi, beda pada barisan aritmetika tersebut adalah 3.

Soal 15

Jika rumus suku ke-n barisan aritmetika Un = 4n – 5, beda pada barisan tersebut adalah…

Jawab:

Un = 4n – 5

Beda = Un - Un₋₁

Karena Un = 4n – 5

Maka Un₋₁= 4(n-1) – 5 = 4n – 4 – 5 = 4n – 9 -

Dengan demikian

Beda = (4n – 5) – (4n – 9)

= 4n – 5 – 4n + 9

= 4

Jadi, beda pada barisan tersebut adalah 4.

Soal 16

Diketahui deret aritmetika berikut.

(-10) + (-5) + 0 + 5 + … + 130

Banyak suku pada deret aritmetika tersebut adalah…

Jawab:

U₁ = a = -10

b = U₂ - U₁ = (-5) – (-10) = -5 + 10 = 5

Un = a + (n – 1)b

Karena Un = 130 maka:

130 = (-10) + (n – 1)5

130 = (-10) + 5n – 5

130 = 5n – 15

5n = 145

n = 29

Jadi, banyak suku pada deret aritmetika tersebut adalah 29.

Soal 17

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika Sn = 3n² - n, maka suku ke-25 adalah…

Jawab:

Un = a + (n – 1)b

U₂₅ = a + (25 – 1)b = a + 24b

a = U₁ = S₁

b = U₂ - U₁

Untuk mencari U₂₅, kita cari lebih dahulu S₁ dan b.

Mencari S₁

Sn = 3n² - n

S₁ = 3.1² - 1 = 3 – 1 = 2

Mencari b

b = U₂ - U₁ 

U₁ = S₁ = 2

U₂ = S₂ - S₁

Sn = 3n² - n 

S₂ = 3.2² - 2 = 12 – 2 = 10

U₂ = S₂ - S₁ = 10 – 2 = 8

 

b = U₂ - U₁  = 8 – 2 = 6

Dengan demikian,

U₂₅  = a + 24b

= 2 + 24(6) 

= 2 + 144 = 146

Soal 18

Jika diketahui 8 + 17 + 26 + … = 690, banyaknya bilangan dari deret tersebut adalah…

Jawab:

U₁ = a = 8

U₂ = 17

U₃ = 26

b = 17 – 8 = 9

Sn = 690

Banyak bilangan (n) :

Sn = (n/2) [2a + (n-1)b]

690 = (n/2) [2(8) + (n – 1)9]

690 = (n/2) [16 + 9n – 9]

1380 = n [9n + 7]

1380 = 9n² + 7n

9n² + 7n – 1380 = 0

Dengan menggunakan rumus ABC akan diperoleh  n = 12.

Soal 19

Diketahui barisan bilangan 1, 12, 23, 34, 45, … Suku ke-100 barisan tersebut adalah…

Jawab:

U₁ = a = 1

U₂ = 12

b = U₂ - U₁ = 12 – 1 = 11

Un = a + (n – 1)b

U₁₀₀ = 1 + (100 – 1)11

= 1 + 99(11)

= 1 + 1089 = 1090

Jadi, suku ke-100 barisan tersebut adalah 1090.

Soal 20

Diketahui barisan berikut.

7, 21, 63, 189, …

Tentukanlah barisan bilangan yang termasuk barisan geometri.

Jawab:

Pertama, mari kita cari perbandingan setiap dua suku berurut.

Oleh karena perbandingan setiap dua suku yang berurutan besarnya tetap yaitu 3, maka barisan 7, 21, 63, 189, … merupakan barisan geometri.

Soal 21

Perhatikan barisan geometri berikut ini.

2, 6, 18, 54, 162, …

Rasio barisan geometri tersebut adalah…

Jawab:

U₁ = 2

U₂ = 6

U₃ = 18 =

U₄ = 54

U₅ = 162

r = Un/Un₋₁ = U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃= U₅/U₄

r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3

Jadi, rasio barisan geometri tersebut adalah 3.

Soal 22

Perhatikan barisan berikut.

5, 10, 20, 40, x, 160, y, …

Nilai x dan y berturut-turut adalah…

Jawab:

Pertama-tama, mari kita cari rasio (r)

r = Un/Un-1

Karena U₁=a=5 U₂=10 U₃=20 U₄=40 U₅=x U₆=160 U₇=y maka:

r = U₂/U₁  = 10/5 = 2

Cari nilai x

Un = arⁿ⁻¹

U₅ = x

ar⁴ = x

(5)(2⁴) = x

(5)(16) = x

x = 80

Cari nilai y

Un = arⁿ⁻¹

U₇ = y

ar⁶ = y

(5)(2⁶) = y

(5)(64) = y

y = 320

Jadi nilai x = 80 dan y = 320

Soal 23

Nilai suku ke delapan dari barisan geometri 4, 12, 36, 108, … adalah…

Jawab:

Suku pertama = U₁ = a = 4

Suku kedua = U₂ = 12

Suku ketiga = U₃ = 36

Suku keempat = U₄ = 108 =

r = U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃

r = 12/4 = 36/12 = 108/36 = 3

Nilai suku kedelapan:

Un = arⁿ⁻¹

U₈ = (4)(3⁷)

= (4)(2187) =8748

Jadi, nilai suku ke delapan adalah 8748.

Soal 24

Diketahui deret geometri 6 + 12 + 24 + 48 + … Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah…

Jawab:

Suku pertama = U₁ = 6

Suku kedua = U₂ = 12

Suku ketiga = U₃ = 24

Suku keempat = U₄ = 48

Rasio = r = U₂/U₁ = 12/6 = 2

Jumlah 10 suku pertama:

Sn = a (rⁿ - 1) / r - 1

S₁₀ = 6 (2¹⁰ - 1) / 2 - 1 

= 6(1024 – 1) / 1

= 6 (1023)

= 6138

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 6138

Soal 25

Pada suatu barisan geometri diketahui U₁ = 15 dan U₃ = 135. Nilai suku ke-5 adalah…

Jawab:

U₁ = 15 = a

U₃= 135

a r² = 135

(15) (r²) = 135

r² = 135/15 = 9

r = √9 = 3

Nilai suku ke-5:

Karena a = 15 dan r = 3 maka,

U₅ = a r⁴

= (15) (3⁴)

= (15) ( 81) = 1215

Jadi, nilai suku ke-5 adalah 1215.

Contoh 1

Diketahui barisan bilangan 3,4,7,12,19,…

Nilai suku ke-12 berdasarkan pola barisan di atas adalah….

a. 103

b. 124

c. 147

d. 172

PENYELESAIAN

Nilai suku ke-n merupakan jumlah antara suku pertama dengan jumlah (n – 1) suku pertama pada bagian pola.

Un = U₁ + Sn₋₁

Untuk n=12 diperoleh:

U₁₂ = U₁ + S₁₂₋₁

 = U₁ + S₁₁

= 3 + (1 + 3 + 5 + … + 12)

= 3 + 11/2 x (1 + 21)

= 3 + 11/2 x 22

= 3 + 121 = 124

Jadi, nilai suku ke-12 barisan bilangan tersebut yaitu 124

Contoh 2

Pak Budi akan membagikan sejumlah uang kepada lima anaknya.  Uang yang akan dibagikan terdiri atas lembaran dua ribuan. Banyak uang yang dibagikan kepada tiap-tiap anak membentuk barisan geometri. Jika dua anak terakhir berturut-turut memperoleh 8 lembar dan 4 lembar, jumlah uang yang dibagikan Pak Budi sebesar….

a. 124.000,00

b. 144.000,00

c. 248.000,00

d. 300.000,00

PENYELESAIAN

Banyak lembaran uang yang dibagikan kepada tiap-tiap anak membentuk barisan geometri dengan U₄ = 8 danU₅ = 4

Rasio = r = U₅/U₄ = 4/8 = ½

U₅ = ar⁴ = 4

a (1/2)⁴ = 4

a x (1/16) = 4

a = 4 x 16 = 64

Diperoleh barisan geometri dengan a = 64 dan r = ½ sehingga:

S₅ = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴

= 64 + 32 + 16 + 8 + 4

= 124

Jumlah uang = 124 x Rp2.000,00 = Rp248.000,00

Jadi, jumlah uang yang dibagikan Pak Budi yaitu sebesar Rp248.000,00

Contoh 3

Jumlah bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 6 adalah….

a. 780

b. 798

c. 810

d. 816

PENYELESAIAN

Suatu bilangan yang habis dibagi 6 berarti bilangan tersebut kelipatan dari 6. Jumlah bilangan kelipatan 6 antara 10 dan 100 yaitu 12 + 18 + 24 + … + 98

Deret bilangan di atas merupakan deret aritmetika dengan a = 12, b = 6 dan Un = 96.

Banyak suku deret tersebut yaitu :

Un = 96

a + (n – 1)b = 96

12 + (n – 1)6 = 96

12 + 6n – 6 = 96

6n = 96 + 6 – 12

6n = 90

n = 15

Banyak suku deret tersebut ada 15

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = n/2 (a + Un)

Jumlah deret tersebut yaitu:

S₁₅ = 15/2 x (a + U₁₅)

= 15/2 x (12 + 96)

= 15/2 x 108

= 810

Jadi, jumlah bilangan bulat antara 10 dan 100 yang habis dibagi 6 adalah 810

Contoh 4

Suku ke-8 dan suku ke-12 barisan aritmetika berturut-turut 18 dan 34. Nilai suku ke-18 barisan tersebut adalah….

a. 58

b. 64

c. 78

d. 96

PENYELESAIAN

Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan: Un = a + (n-1)b

Suku ke-8 bernilai 18 diperoleh:

U₈ = 18

a + (8 – 1)b = 18

a + 7b = 18 …persamaan 1

Suku ke-12 bernilai 34 diperoleh

U₁₂  = 34

a + (12 – 1)b = 34

a + 11b = 34 …persamaan 2

Eliminasi a dari persamaan 1 dan persamaan 2, maka akan diperoleh nilai b seperti berikut ini:

a + 11b = 34

a + 7b = 18

-----------------   -

4b = 16

a = 4

Substutusikan b = 4 kedalam persamaan 1

a + 7b = 18

a + 7(4) = 18

a + 28 = 18

a = -10

Diperoleh a = -10 dan b = 4

Nilai suku ke-18 yaitu:

U₁₈ = a + (18 – 1)b

= a + 17b

= -10 + 17(4)

= -10 +68 = 58

Jadi, nilai suku ke-18 yaitu 58.

Contoh 5

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan Sn = 2n² – n. Nilai suku ke-20 deret tersebut adalah….

a. 74

b. 77

c. 83

d. 87

PENYELESAIAN

Berdasarkan rumus jumlah n suku pertama yaitu Sn = 2n² – n diperoleh:

S₁ = 2 x 1² – 1 = 1

S₂ = 2 x 2² – 2 = 6

S₃=  2 x 3² – 3 = 15

Dari ketiga nilai di atas diperoleh nilai suku-suku deret aritmetika

U₁ = S₁ = 1

U₂ = S₂ – S₁ = 6 – 1 = 5

U₃ = S₃ – S₂ = 15 – 6 = 9

Deret aritmetika tersebut yaitu : 1 + 5 + 9 + …

Diperoleh a = 1dan b = 4

Suku ke-n barisan aritmetika dinyatakan dengan Un = a + (n – 1)b. Nilai suku ke-20 diperoleh:

U₁₀ = a + (20 – 1)b

= a + 19b

= 1 + 19(4)

= 1 + 76 = 77

Contoh 6

Jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450 adalah….

a. 8700

b. 6804

c. 6360

d. 6300

PENYELESAIAN

Bilangan kelipatan 3 dan 4 berarti kelipatan 12. Jumlah bilangan kelipatan 12 antara 200 dan 450 yaitu 204 + 216 + 228 + … + 444

Jumlahan tersebut merupakan deret aritmetika dengan a = 204 dan b = 12

Un = a + (n – 1)b

444 = 204 + (n – 1)12

240 = (n – 1)12

n – 1 = 20

n = 21

Dengan demikian, jumlah deret aritmetika yang diperoleh yaitu:

S₂₁ = ½ x 21 x (U₁ + U₂₁)

= ½ x 21 x (204 + 444)

= ½ x 21 x 648

= 6804

Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 dan 4 antara 200 dan 450 adalah 6804.